习题7-1
1.选择题
与方差都存在但未知 (1)设总体X的均值
的样本, 则均值□与方差 C2的矩估计量分别是( (A) X 和 S. (C)
2 2
而X-X2,…，Xn为来自X ).
1
(B) X 和 (Xi
1
□和d. 选(D).
(D)
2
X 和 (Xi
-X)
解
⑵设X : U [0, v],其中 的样本，则0的矩估计量是(
(A) X .
(B) 2X .
0>0为未知参数，又Xi，X2，…，Xn为来自总体X
).
(C) max{ Xi}. 1 < i < n
(D) min { X i}. 1 < i < n
解选(B).
2.设总体X的分布律为
X P -2 30 1 1-40 5 e 其中0v 0< 0.25为未知参数,X1, X2, , , Xn为来自总体X的样本，试求0的矩 估计量.
解 因为 E(X)=(-2) >3 0+1X(1-4 0+5 X0=1-5 0 令 1_5v-X 得到 v 的矩估 计量为彳二1.
5
3.设总体X的概率密度为
f A
严 1)x ；0 ::: x ：：：1, f(X； V)
0, 其它.
其中0>1是未知参数，X1,X2,, ,Xn是来自X的容量为n的简单随机样本 求：(1) r的
矩估计量；
(2) 0的极大似然估计量. 解
总体X的数学期望为
址 阳1 日+1
E (X ) = f xf (x)d x =[(日 +1) x dx = ----------------------
1
0
0+2
令E(X)= X ,即二！ =X ,得参数0的矩估计量为 彳
■■ 2
2X -1 1 -x
设X1, X2,, , X n是相应于样本X1, X2,, , X n的一组观测值，
n
则似然函数为
X
i
，0 ::: xi ：：：1,
0,
当 0 A ,n)时，L>0 且 In L = n ln( v I))、In Xi , i =1 d In L n 二 令 d v 71 -1 i 1 In Xi =0,得 n n 0的极大似然估计值为 4-1 v i In Xi 土 而的极大似然估计量为 彳=-1 .二 In i X i -4 4.设总体X服从参数为 ■的指数分布, 即X的概率密度为 f (X, ■)二 I0, 3 x 0, x< 0, 其中，.0为未知参数,Xi, X2, , , Xn为来自总体 的矩估计量与极大似然估计量 1 - X的样本，试求未知参数■ 解因为E(X)= =X ,所以，的矩估计量为 n —.设 X1, X2,, , X n 是相 X 应于样本Xi, X2,, ,X n的一组观测值，则似然函数 n -n _ -'7 Xi i 士 L 二 ■■■■ I 取对数 人 d In L n 二 令. Xi 人 \\=± 1 然估计 量为？==. X ? 1 - X =0,得?的极大似然估计值为 ,■的极大似 5.设总体X的概率密度为 0 ::: x ::: 1, f (x,=) ?1 七, 1< x< 2, 其中-(0＜二＜1 )是未知参数 为样本值x, ,x, ,x中小于 估计量. 2 n 0, 其它， .X1, X2,, ,Xn为来自总体的简单随机样本，记N 1的个数? 求：(1) B的矩估计量；(2) B的极大似然 3 解 (1) X =E(X)二 xvdx 亠 |X(1 - v)dx 2 3 — ,所以 <1 矩 X . 2 (2)设样本X1,X2,…Xn按照从小到大为序(即顺序统计量的观测值)有如下 关系： X(1) < X(2) w , w 似然函数为 ,,■'N(^-r-,X(1) W x(2) W' \W X(N) |0, 其它. 1 x(N) <1 w X(N+1) W X(N+2)W , W X(n). 考虑似然函数非零部分，得到 In L( 0) = N In 0+ (n - N) In(1- 0), 令d s o 二‘ 一口 =o ,解得0的极大似然估计值为 d B 日1 —日 弓=楚. n 习题7-2 1.选择题：设总体 X的均值 与方差；「2都存在但未知，而 服从什么分布，( 1 n 2 X’，X2,…,Xn为X的样本， 的 则无论总体 )是.1和二 无偏估计量? n n (A) Xi 和 n i ± —J (X n i生 1 n -1 i —'X . 2 ) (B) -1 i — 2 Xi和 , n 1 1 —7 Xi 和—v (Xi 7 . n i -4 n i -4 (Xi —X) ? 2 —2 n (C) Xi和 n -1 i ± 、(Xi」).(D) i :— 、 i 解 选(D). 2. 若x 1 ,X , 2X 3为来自总体 )的样本，且 X2 ? kX 3为」的无偏估计量，问k等于多少？ 解要求 1 1 1 E(—X! ? — X2 ? kX 3)2 7 4 3 3 2 1 4 1 2 5 解之，k=. 3.设总体X的均值为0,方差匚存在但未知,又X1, X2为来自总体X的 1 2 2 样本，试证：一(X ’ 一 X 2)为二的无偏估计 2 1 2 1 2 2 证 因为 E[—(X’-X?)] 2 2 E[( X1 ^2X 1X2 X2 )] 1 2 2 【E(X’)_2E(X’X2)- E(X2 )] 2 所以一(X1-X2)2为L的无偏估计. 2 习题7-3 1. 选择题 (1) 总体未知参数 二的置信水平为0.95的置信区间的意义是指( (A) 区间平均含总体 95%的值. (B) 区间平均含样本 95%的值. (C) 未知参数二有95%的可靠程度落入此区间. (D) 区间有95%的可靠程度含参数n的真值? 解选(D). (2) 对于置信水平1- a0< ad)，关于置信区间的可靠程度与精确程度 列说法不正确的是( ). (A) 若可靠程度越高，则置信区间包含未知参数真值的可能性越大 (B) 如果a越小，则可靠程度越高，精确程度越低. (C) 如果1- a越小，则可靠程度越高，精确程度越低? (D) 若精确程度越高，则可靠程度越低，而1- a越小. 解选(C) 习题7-4 1.某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取 9只进行寿命测试，取得数据 如下(单位:小时): 1050， 1100， 1080, 1120， 1250， 1040， 1130， 1300， 1200. 设灯泡寿命服从正态分布 N(卩902)，取置信度为0.95，试求当天生产的全部灯 泡的平均寿命的置信区间. 解 计算得到x -1141.11， 3 =902.对于a= 0.05,查表可得 Z -/2 = z0.025 ). ，下 二1-96 . 所求置信区间为 (X (J ■ n 90 —1.96, 1141.11 ) =(1141.11 = (1082.31,1199.91). 2. 为调查某地旅游者的平均消费水平 ，随机访问了 40名旅游者，算得平 均消费额为X =105元，样本标准差s =28元.设消费额服从正态分布.取置 信水平为0.95,求该地旅游者的平均消费额的置信区间 . 2 2 解计算可得X =105, f =282.对于a= 0.05,查表可得 t ..(n -1) =t°.025 (39) = 2.0227 2 s s 28 (X 「 \\ -2 (n1x ), \\ -)) = 2 (n1(105 2.0227, 105 28 — 2.0227 ) 所求□的置信区间为 8支 =(96.045, 113.955). 3?假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布 .现随机抽取此种香烟 为一组样本，测得其尼古丁平均含量为 此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为 0.99的置信区间. 2 18.6毫克，样本标准差s=2.4毫克.试求 解 已知 n=8, S2=2.42, a= 0.01,查表可得笑厶 一 1) = 30.005 ⑺=20.278 , 2 ..(n -1) = (n -1)S 2 2 2 2 0.995 ⑺=0.989 ,所以方差/的置信区间为 (8 .1) 2.4 2 \ (n -1)S 、( , )=( “-1) J-1) (8 -1) 2.4 2 20.278 )=(1.988, 40.768). 0.989 4.某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱 本：X1,X2,, ,X12 及 丫1,丫2,, y = 9.5g , s： =2.4, s； 设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布 分别从两条流水线上抽取样 ，丫17,算出 x =10.6g , =4.7 .假 ，且相互独立，其均值分 别为叫，J2.又设两总体方差打.求4 - J2置信水平为0.95的置信区间 并说明该置信区间的实际意义 . 2 解 由题设 X =10.6, y =9.5, s： =2.4, s； =4.7, n1 =12, n2 =17, 2 丄 2 (12 —1) 2.4 ? (17 —1) 2 s (① -1) q ? (n? -1)S2 w 12 17「2 n ' n2「2 12 4.7 = 1.94
概率论与数理统计习题及答案第七章
