2024-2024学年高一数学新教材精品学案【人教A版必修第一册】1.4.1 充分条件与必要条件

1.4 充分条件与必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件

【学习目标】

课程标准 1、理解充分条件、必要条件的概念，并会判断．(重点) 2、可以通过已知关系探讨参数取值范围．(难点) 学科素养 1、数学抽象 2、逻辑推理 【自主学习】

1．充分条件与必要条件的概念

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．

注意：充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．

2. 充分条件、必要条件与集合的关系 设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}

A?B p是q的充分条件 q是p的必要条件 q是p的充分条件 p是q的必要条件 AB p是q的不充分条件 q是p的不必要条件 q是p的不充分条件 p是q的不必要条件 B?A

BA 【小试牛刀】

1、判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）若p是q的充分条件，则p是唯一的．( ) （2）若q是p的必要条件，则p是q的充分条件( ) （3）若q不是p的必要条件，则“p?q”成立．( ) 2.“对角线相等的平行四边形是矩形”

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(1)这个命题是真命题吗？ (2)将命题改写为“若p，则q”的形式． (3)“平行四边形的对角线相等”是“四边形为矩形”的什么条件．

【经典例题】

题型一 充分条件、必要条件的判定

例1 判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？ (1)p：x>1，q：x2>1；

(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点．

[跟踪训练] 1 判断下列说法中，p是q的充分条件的是_______． ①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；

②设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”．

题型二 充分条件、必要条件求参数的范围

例2 已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

例3 是否存在实数p，使得x2－x－2>0的一个充分条件是4x＋p<0，若存在，求出p的取值范

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围，否则，说明理由．

[跟踪训练] 2已知p：关于x的不等式的取值范围．

3－m3＋m

【当堂达标】

1．设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( ) A．充分条件 B．必要条件

C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是( ) A．x>1 C．x>3

B．x<1 D．x<3

3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( ) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断

4．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的 条件．(填必要、不必要)

5. 已知p：x<－2或x>10，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的必要条件，求负实数a的取值范围．

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6. 已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围．

7. 已知M＝{x|a－1

【参考答案】

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【自主学习】 充分 必要 【小试牛刀】 1.× √ √

2.(1)是真命题 (2)若平行四边形的对角线相等，则这个四边形为矩形 (3)充分条件 【经典例题】

例1 (1)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件．

(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件． [跟踪训练] 1 ① [解析] 对①，p?q；②p? q

例2 解 由x－4ax＋3a<0且a<0，得3a

所以?a≤3，

??a<0，

2

2

2

?

2

解得－≤a<0，

3

?2?所以实数a的取值范围是?－，0?. ?3?

例3 解 由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1. 令A＝{x|x>2或x<－1}，

?p?

x<－?. 由4x＋p<0，得B＝?x?4?

?

p

由题意得B?A，即－≤－1，即p≥4，

4p

此时x<－≤－1?x2－x－2>0，

4

∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的一个充分条件．

?3－m3＋m?

?，B＝{x|0

若p是q的充分条件，则A?B.

注意到B＝{x|0

3－m3＋m①若A＝?，即≥，解得m≤0，此时A?B，符合题意；

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