第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
1.命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“x+2x-3<0”是命题.( )
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p?q且?/ p p?/q且q?p p?q p?/q且q?/p (2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则﹁q”.( )
(3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( ) (4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( ) (5)q不是p的必要条件时,“p ?/q”成立.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ [教材衍化]
1.(选修2-1P12A组T2改编)命题“若x>y,则x>y”的逆否命题是________,是________命题(填“真”或“假”)
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解析:根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x>y,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x≤y”.
答案:若x≤y,则x≤y 假
2.(选修2-1P12A组T3改编)设x∈R,则“2-x≥0”是“(x-1)≤1”的________条件.
解析:2-x≥0,则x≤2,(x-1)≤1,则-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,据此可知,“2-x≥0”是“(x-1)≤1”的必要不充分条件.
答案:必要不充分 [易错纠偏]
(1)命题的条件与结论不明确; (2)对充分必要条件判断错误.
1.命题“若a+b=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是________. 答案:若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a+b≠0 2.条件p:x>a,条件q:x≥2.
(1)若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________; (2)若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是________. 解析:设A={x|x>a},B={x|x≥2}, (1)因为p是q的充分不必要条件, 所以A2
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B,所以a≥2;
(2)因为p是q的必要不充分条件, 所以BA,所以a<2.
答案:(1)a≥2 (2)a<2
四种命题的相互关系及真假判断
(1)(2024·浙江重点中学模拟)已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:
“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的( )
A.逆命题 C.逆否命题
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B.否命题 D.否定
(2)(2024·温州模拟)命题“若x+y=0,x,y∈R,则x=y=0”的逆否命题是( ) A.若x≠y≠0,x,y∈R,则x+y=0 B.若x=y≠0,x,y∈R,则x+y≠0 C.若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x+y≠0
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D.若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x+y≠0
【解析】 (1)命题p:“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题,故选B.
(2)将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.由x=y=0知x=0且y=0,其否定是x≠0或y≠0.
【答案】 (1)B (2)D
(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点 ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写. ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
[提醒] 四种命题的关系具有相对性,一旦一个命题定为原命题,相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”.
(2)判断命题真假的2种方法
①直接判断:判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明;说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
②间接判断:当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
1.命题“若a>b,则a>b”的否命题是( ) A.若a>b,则a≤b C.若a≤b,则a>b
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B.若a≤b,则a≤b D.若a≤b,则a≤b
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解析:选B.根据命题的否命题若“﹁p,则﹁q”知选B. 2.下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若x>1,则x>1”的否命题 B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 C.命题“若x=1,则x+x-2=0”的否命题 1
D.命题“若>1,则x>1”的逆否命题
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x解析:选B.对于A,命题“若x>1,则x>1”的否命题为“若x≤1,则x≤1”,易知当x=-2时,x=4>1,故为假命题;对于B,命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若
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x>|y|,则x>y”,分析可知为真命题;对于C,命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命
题为“若x≠1,则x+x-2≠0”,易知当x=-2时,x+x-2=0,故为假命题;对于D,11
命题“若>1,则x>1”的逆否命题为“若x≤1,则≤1”,易知为假命题,故选B.
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充分条件、必要条件的判断(高频考点)
充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点,常以选择题的形式出现,作为一个重要载体,考查的知识面很广,几乎涉及数学知识的各个方面.主要命题角度有:
(1)判断指定条件与结论之间的关系; (2)与命题的真假性相交汇命题. 角度一 判断指定条件与结论之间的关系
(1)(2024·高考浙江卷)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2024·高考浙江卷)已知平面α,直线m,n满足m?α,n?α,则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 C.充分必要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 (1)通解:因为a>0,b>0,所以a+b≥2ab,由a+b≤4可得2ab≤4,1
解得ab≤4,所以充分性成立;当ab≤4时,取a=8,b=,满足ab≤4,但a+b>4,所以
3必要性不成立,所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A.
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优解:在同一坐标系内作出函数b=4-a,b=的图象,如图,则不等式a+b≤4与ab≤4
a4
表示的平面区域分别是直线a+b=4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b=及其左下
a方(第一象限中的部分),易知当a+b≤4成立时,ab≤4成立,而当ab≤4成立时,a+b≤4不一定成立.故选A.
(2)若m?α,n?α,m∥n,由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α,m?α,n?α,不一定推出m∥n,直线m与n可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A.
【答案】 (1)A (2)A
角度二 与命题的真假性相交汇命题
(2024·杭州模拟)下列有关命题的说法正确的是( ) A.“x=-1”是“x-5x-6=0”的必要不充分条件 B.p:A∩B=A;q:A
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B,则p是q的充分不必要条件
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C.已知数列{an},若p:对于任意的n∈N,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上;q:{an}为等差数列,则p是q的充要条件
D.“x<0”是“ln(1+x)<0”的必要不充分条件
【解析】 选项A:当x=-1时,x-5x-6=0,所以x=-1是x-5x-6=0的充分条件,故A错.
选项B:因为A∩B=A?/A而A2
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B(如A=B),
B?A∩B=A,从而p?/ q,q?p,
所以p是q的必要不充分条件,故B错. 选项C:因为Pn(n,an)在直线y=2x+1上. 所以an=2n+1(n∈N),
则an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2,
又由n的任意性可知数列{an}是公差为2的等差数列,即p?q.
但反之则不成立,如:令an=n,则{an}为等差数列,但点(n,n)不在直线y=2x+1上,从而q?/ p.
从而可知p是q的充分不必要条件,故C错.
选项D:利用充分条件和必要条件的概念判断.因为ln(x+1)<0?0 【答案】 D 判断充要条件的3种常用方法 (1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法:利用A?B与﹁B?﹁A,B?A与﹁A?﹁B,A?B与﹁B?﹁A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:若A?B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件. [提醒] 判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么. (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断. (3)直接判断比较困难时,可举出反例说明. 11ab1.(2024·杭州市富阳二中高三开学检测)若a,b为实数,则“ 3<3”是“>”|a||b|的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 * 5