题型专项(五) 四边形中的简单证明与计算
1．(2015·桂林)如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．(1)求证：四边形
EBFD为平行四边形；
(2)对角线AC分别与DE，BF交于点M，N，求证：△ABN≌△CDM.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝12AB，DF＝12CD.
∴BE＝DF. ∵BE∥DF，
∴四边形EBFD为平行四边形．(2)∵四边形EBFD为平行四边形，∴DE∥BF. ∴∠CDM＝∠CFN.
由(1)知AB∥CD，AB＝CD. ∴∠BAC＝∠DCA，∠ABN＝∠CFN.∴∠ABN＝∠CDM.在△ABN与△CDM中，∠BAN＝∠DCM，AB＝CD，∠ABN＝∠CDM，∴△ABN≌△CDM(ASA
)．2．(2016·遵义)如图，矩形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，Q两点．
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(1)求证：CP＝AQ；
(2)若BP＝1，PQ＝22，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°. ∵BE＝DF，
∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF. 又∵∠AQE＝∠CPF，∴△AEQ≌△CFP(AAS)．
BE＝DF，连接EF，与BC，AD分别相交于，P∴AQ＝CP.
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠PBE＝90°. ∵∠AEF＝45°，∴EB＝BP＝1. ∴PE＝
2.
同理DF＝DQ＝1，FQ＝2.
∴EQ＝32. ∴AQ＝AE＝3. ∴AB＝2，AD＝4.
∴矩形ABCD的面积为2×4＝8.
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G.21教育网(1)求证：四边形
ABDE是菱形；
(2)若BD＝14，cos∠GBH＝78
，求GH的长．
解：(1)证明：∵AC∥BD，AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.∵AC∥BD，∴∠CAD＝∠ADB.∴∠BAD＝∠ADB.∴AB＝BD.
∴四边形ABDE是菱形．(2)∵∠ABC＝90°，∴∠GBH＋∠ABG＝90°. ∵四边形ABDE是菱形，∴AD⊥BE.
∴∠GAB＋∠ABG＝90°. ∴∠GAB＝∠GBH.又∵cos∠GBH＝7
8，
∴cos∠GAB＝7
8.
∴ABAG7AH＝AB＝8
. ∵四边形ABDE是菱形，BD＝14，∴AB＝BD＝14. ∴AH＝16，AG＝494
.
，过点作AB的平行线交AC
DD15
∴GH＝AH－AG＝.
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广西贵港市2017届中考数学总复习题型专项(五)四边形中的简单证明与计算
