高二数学 空间向量与立体几何测试题
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的） 1．在下列命题中：
①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；
②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面； ③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；
④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc,x,y,z?R． 其中正确命题的个数为 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2．若三点A，B，C共线，P为空间任意一点，且PA??PB??PC，则???的值为（ ）
1 Ｄ．?2 24，，3)b?(3，2，z)，且a∥b，则xz等于（ ） 3．设a?(x，Ａ．1
Ｂ．?1
Ｃ．
Ａ．?4
Ｂ．9
Ｃ．?9
Ｄ．
64 94．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于 （ ） A.
62636465 B. C. D. 77775．如图1，空间四边形ABCD的四条边及对
角线长都是a，点E，F，G分别是AB，AD，CD 的中点，则a2等于（ ） ·AC Ａ．2BA
·BD Ｂ．2AD
·CA Ｃ．2FG
·CB Ｄ．2EF6．若a、b均为非零向量，则a?b?|a||b|是a与b共线的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
7.已知点O是△ABC所在平面内一点，满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的（ ） A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点 D.三条高的交点 8．已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b之间的夹角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．以上都不对
9．已知OA?(1,2,3)，OB?(2,1,2)，OP?(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA?QB 取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．(,,)
131243B．(,,)
123234C．(,,)
448333D．(,,)
44733310．给出下列命题：
·(b?c)?c·(b?a)?b·c； ①已知a?b，则a②A，B，M，N为空间四点，若BA，BM，BN不构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面； ③已知a?b，则a，b与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若a，b共线，则a，b所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） Ａ．1
Ｂ．2
Ｃ．3
Ｄ．4
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的 中线长为
12．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量
12OP?OA?OB??OC确定的点P与A，B，C共面，那么?? ．
5313.已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为 .
14．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点， BE＝3ED，以｛AB，AC，AD｝为基底，则GE＝ ．
ADECMGB15.在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90,将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D 两点间的距离为
16．如图,二面角α-ι-β的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这
个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=68， 二面角α-ι-β的大小 ．
三、解答题（本大题共5小题,满分70分），
17．（10分）设a1?2i?j?k，a2?i?3j?2k，a3??2i?j?3k，a4?3i?2j?5k，试问是否存在实数β D α C A ι B 00?，?，?，使a4??a1??a2??a3成立？如果存在，求出?，?，?；如果不存在，请写出证明．
18．（12分）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD?底面ABCD， PD?DC，E是PC的中点，作EF?PB交PB于点F. （1）证明 PA∥平面EDB； （2）证明PB?平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°．侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G． （1）求A1B与平面ABD所成角的大小． （2）求A1到平面ABD的距离．
20.(12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2. (1) 求棱AA1与BC所成角的大小；
(2) 在棱B1C1上确定一点P,使AP=14，并求出二面角P-AB-A1的平面角的
余弦值. C1
21.（12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1.
（Ⅰ）证明：AB=AC
zC1A1DECGxAByB1A1 B1 A C B
（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
A
B C B1 D E
A1 C1
22.（12分）P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，AB??2,?1,?4?,AD??4,2,0?,
AP???1,2,?1?.
（1）求证：PA?平面ABCD.
（2）对于向量a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2)，定义一种运算：
试计算(AB?AD)?AP的绝对值;说明其与几(a?b)?c?x1y2z3?x2y3z1?x3y1z2?x1y3z2?x2y1z3?x3y2z1，
何体P-ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算(AB?AD)?AP的绝对值的几何意义（几何体P-ABCD叫四棱锥，锥体体积公式：V=?底面积?高）.
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空间向量与立体几何(2)
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 答案 1 D 2 D 3 D 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C 9 C 10 B 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．（0，12，） 12．0 13． 1,-3 14．90° 551101 16。AC1?6 |AB|?|AC|?sinA?2215。S?ABC?三、解答题（本大题共6题，共76分）
621a 17．（1）略 （2） （3）s?256618．（1） （2） 3319．（Ⅰ）证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中，
2222
由PA+AB=2a=PB 知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD. （Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G， 由PA⊥平面ABCD.
知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH， 则EH⊥AC，∠EHG即为二面角?的平面角.
又PE : ED=2 : 1，所以EG?从而 tan??123a,AG?a,GH?AGsin60??a. 333EG3?, ??30?. GH3（Ⅲ）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，
建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为
3131a,?a,0),C(a,a,0). 222221D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,a,a).
332131a,a,0). 所以 AE?(0,a,a),AC?(332231AP?(0,0,a),PC?(a,a,?a).
2231BP?(?a,a,a).
2231a?,a?,?a?),其中0???1,则 设点F是棱PC上的点，PF??PC?(22A(0,0,0),B(
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
