青海师范大学附属中学数学旋转几何综合达标检测（Word版 含解
析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；
（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系 时，仍有EF=BE+DF；
（3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）【解析】 【分析】
5 3（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；
（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即
?ADG??ADF?180?，即?B??D?180?；
（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再RtBDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长． 【详解】 （1）解：如图，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中
?AF?AF???EAF??GAF ?AE?AG?∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是：
如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合， 则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中
?AF?AF???EAF??GAF ?AE?AG?∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°；
（3）解：∵△ABC中，AB=AC=22，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC=AB2?AC2=4，
如图，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF． 则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE， ∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△FAD和△EAD中
?AD?AD???FAD??EAD ?AF?AE?∴△FAD≌△EAD， ∴DF=DE， 设DE=x，则DF=x， ∵BD=1，
∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°，
由勾股定理得：DF2?BF2?BD2，
x2?(3?x)2?1，
解得：x=即DE=
5， 35． 3【点睛】
本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．
2．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB?3,AD?4,AE?BD，垂足是E.点F是点
E关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AF和BE的长；
（2）若将ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度)．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值． （3）如图②，将ABF绕点B顺时针旋转一个角a(0??a?180?)，记旋转中ABF为
A'BF'，在旋转过程中，设A'F'所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的
长；若不存在，请说明理由．
129916,BF?；（2）m?或m?；（3）存在4组符合条件的点
555525910?5或或P、点Q，使DPQ为等腰三角形； DQ的长度分别为2或
5835?10． 5【解析】 【分析】
（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
【答案】（1）AF?（2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可． 【详解】
（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，AB=3，AD=4， 由勾股定理得：BD=∵S△ABD?∴AE=
AB2?AD2?32?42?5，
11BD?AE=AB?AD， 22AB?AD3?412??， BD5512，BF=BE， 5∵点F是点E关于AB的对称点， ∴AF=AE?∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AB=3，AE?212， 52229?12?由勾股定理得：BE?AB?AE?3????； 5?5?（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE?9， 5由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′?①当点F′落在AB上时， ∵AB∥A′B′， ∴∠3=∠4，
根据平移的性质知：∠1=∠4， ∴∠3=∠2， ∴BB′=B′F′?9， 599，即m?； 55②当点F′落在AD上时， ∵AB∥A′B′，AB⊥AD， ∴∠6=∠2，A′B′⊥AD， ∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6， 又知A′B′⊥AD， ∴△B′F′D为等腰三角形， ∴B′D=B′F′?9， 5∴BB′=BD-B′D=5-
16916?，即m?； 555（3）存在．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，
青海师范大学附属中学数学旋转几何综合达标检测(Word版 含解析)
