实验5连续时间系统的复频域分析
(综合型实验)
一、实验目的
1)掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义并掌握MATLAB实现方法。 2)学习与掌握连续时间系统函数的定义及复频域分析方法。
3)掌握系统零极点的定义,加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1、拉普拉斯变换
??连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为X(s)????x(t)e?stdt (1)
拉普拉斯反变换为x(t)??j?2?j??1??j?X(s)estds (2)
MATLAB中相应函数如下:
L?laplace(F) 符号表达式F拉氏变换,F中时间变量为t,返回变量为s的结果表达式。 L?laplace(F,t)用t替换结果中的变量s。
F?ilaplace(L)以s为变量的符号表达式L的拉氏反变换,返回时间变量为t的结果表达式。
F?ilaplace(L,x)用x替换结果中的变量t。
拉氏变换还可采用部分分式法,当X(s)为有理分式时,它可以表示为两个多项式之比:
N(s)bMsM?bM?1sM?1?...?b0 (3) X(s)??D(s)aNsN?aN?1sN?1?...?a0上式可以采用部分分式法展成以下形式
X(s)?rr1r?2?...?N (4) s?p1s?p2s?pN再通过查找常用拉氏变换对易得反变换。
利用residue函数可将X(s)展成(4)式形式,调用格式为:
[r,p,k]?residue(b,a)其中b、a为分子与分母多项式系数向量,r、p、k分别为上述展开式
中的部分分式系数、极点与直项多项式系数。 2、连续时间系统的系统函数
连续时间系统的系统函数就是指系统单位冲激响应的拉氏变换
??H(s)????sth(t)edt (5) ?连续时间系统的系统函数还可以由系统输入与输出信号的拉氏变换之比得到。
H(s)?Y(s)/X(s) (6)
单位冲激响应h(t)反映了系统的固有性质,而H(s)从复频域反映了系统的固有性质。由(6)描述的连续时间系统,其系统函数为s的有理函数
bMsM?bM?1sM?1?...?b0 (7) H(s)?aNsN?aN?1sN?1?...?a03、连续时间系统的零极点分析
系统的零点指使式(7)的分子多项式为零的点,极点指使分母多项式为零的点,零点使系统的值为零,极点使系统的值为无穷大。通常将系统函数的零极点绘在s平面上,零点用?表示,极点用?表示,这样得到的图形为零极点分布图。可以通过利用MATLAB中的求多项式根的roots函数来实现对(7)分子分母根的求解,调用格式如下:
r=roots(c),c为多项式的系数向量,返回值r为多项式的根向量。
求取零极点以及绘制系统函数的零极点分布图可以采用pzmap函数,调用格式如下: pzmap(sys)绘出由系统模型sys描述的系统的零极点分布图。
[p,z]=pzmap(sys)这种调用方式返回极点与零点,不绘出零极点分布图。
还有两个专用函数tf2zp与zp2tf可实现系统的传递函数模型与零极点增益模型的转换。调用格式如下: [z,p,k]=tf2zp(b,a) [b,a]=tf2zp(z,p,k)
研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统冲激响应的形式,还可以了解系统的频率特性以及判断系统的稳定性。
1） 零极点分布与冲激响应的关系
系统的极点位置决定着系统冲激响应h(t)的波形,冲激响应的幅值就是由系统函数的零点与极点共同确定的,系统的零点位置只影响冲激响应的幅度与相位,不影响波形。 2） 零极点分布与系统频率响应的关系
系统函数的零极点分布不仅决定了系统函数H(s),也决定了系统的频率响应H(?),根据系统的零极点分布情况,可以由几何矢量法分析系统的频率响应。 3） 零极点分布与系统稳定性的关系
稳定性就是系统的固有性质,与激励信号无关,由于系统函数H(s)包含了系统的所固有的性质,因而可以根据系统函数的零极点分布判断系统的稳定性。因果系统稳定的充要条件就是
H(s)的全部极点位于s的左半平面。
三.实验内容
(1)已知系统的冲激响应h(t)?u(t)?u(t?2),输入信号x(t)?u(t),试采用复频域的方法求解系统的响应,编写MATLAB程序实现。 代码:
?Tfifth_2_1、m syms t
h=heaviside(t)-heaviside(t-2);
x=heaviside(t); H=laplace(h); X=laplace(x); Y=H*X; y=ilaplace(Y)
>> DFTfifth_2_1 y =
t - heaviside(t - 2)*(t - 2)
所以系统的响应为y(t)=t-(t-2)*u(t-2)
(2)已知因果连续时间系统的系统函数分别如下:
1 32s?2s?2s?112)H(s)?5 432s?2s?3s?3s?3s?21)H(s)?试采用MATLAB绘出其零极点分布图,求解系统的冲激响应h(t)与频率响应H(?),并判断系统就是否稳定。 1)
>> b=[1];
>> a=[1 2 2 1]; >> sys=tf(b,a);
>> [p,z]=pzmap(sys) p =
-1、0000 -0、5000 + 0、8660i
Pole-Zero Map10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1.4 -0、5000 - 0、8660i z =
Empty matrix: 0-by-1
>> pzmap(sys)
Imaginary Axis (seconds-1)-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20
所有极点都位于s平面的左半平面,所以系统就是稳定的。
Real Axis (seconds-1)>> syms s
>> Hs=1/(s^3+2*s^2+2*s+1); >> h=ilaplace(Hs) h =
exp(-t) - exp(-t/2)*(cos((3^(1/2)*t)/2) - (3^(1/2)*sin((3^(1/2)*t)/2))/3) 所以系统的冲激响应为h(t)?[e?e(cos绘制时域与频域的曲线:
b=[1]; a=[1 2 2 1]; sys=tf(b,a); subplot(311); impulse(sys); xlabel('t'); title('h(t)'); subplot(312); [H,w]=freqs(b,a);
plot(w,abs(H)); xlabel('w'); ylabel('Magnitude'); title('abs(H)'); subplot(313); plot(w,angle(H)); xlabel('w'); ylabel('phase'); title('phase(H)');
?t?t2333t?sint)]u(t)232
h(t)0.5Amplitude0-0.50246t (seconds)8101214abs(H)1Magnitude0.50012345wphase(H)67891042phase0-2-4012345w678910
2)
>> b=[1 0 1];
>> a=[1 2 -3 3 3 2]; >> sys=tf(b,a) sys =
s^2 + 1 -------------------------------------
s^5 + 2 s^4 - 3 s^3 + 3 s^2 + 3 s + 2
Continuous-time transfer function、
>> [p,z]=pzmap(sys) p =
-3、1704 0、9669 + 0、9540i 0、9669 - 0、9540i -0、3817 + 0、4430i -0、3817 - 0、4430i
Pole-Zero Map10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-3.5 z =
0 + 1、0000i 0 - 1、0000i
>> pzmap(sys)
Imaginary Axis (seconds-1)-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51Real Axis (seconds-1)
由于s平面有半平面有极点,所以就是不稳定系统。 绘制冲激响应与频域响应的图形 方法同上一题 图形如下:
x 1028h(t)1Amplitude0-1-2-3010203040506070t (seconds)abs(H)0.8Magnitude0.60.40.20012345wphase(H)67891021phase0-1-2012345w678910
(3)已知连续时间系统函数的极点位置分别如下所示(设系统无零点):
分别绘制以下六种不同情况下,系统函数的零极点分布图,并绘制相应冲激响应的时域波形,
北京理工大学信号与系统实验报告5 连续时间系统的复频域分析
