第一章 函数·极限·连续
一. 填空题
1. 已知 f ( x)
sin x, f [ ( x)] 1 x2 , 则 (x)
__________, 定义域为 ___________.
ax
2．设 lim
x
1 x
x
a
te dt , 则 a = ________.
t
3. lim
n
2
1
2
2 n 2
| x | 1
2
n n n
=________.
n
n 1 n
n
4. 已知函数 f (x)
1 0
, 则 f[f(x)] _______.
| x | 1
5.
lim ( n
n
3 n
n
n ) =_______.
6. 设当 x
0 时, f (x)
e
x
为 x 的 3 阶无穷小 , 则 a 1
1 bx
ax_____, b ______ .
7.
lim cot x
x 0
1 1
sin x x
=______.
8. 已知 lim
n
n
k
n1990
(n 1)
k
A (
0), 则 A = ______, k = _______.
二. 选择题
1. 设 f(x)和 (x)在 (－ , + (a) [ f(x)]必有间断点
)内有定义 , f(x)为连续函数 , 且 f(x) 0, (x)有间断点 , 则
(b) [
(x)]
2 必有间断点(c) f [
( x)
(x)] 必有间断点 (d)
必有间断点
f ( x)
2. 设函数 f ( x) (a) 偶函数
x tan x
esin x , 则 f(x) 是
(c) 周期函数
(b) 无界函数 (d) 单调函数
3. 函数 f ( x)
| x | sin( x 2) x( x 1)( x 2) (
2在下列哪个区间内有界
(a) ( － 1, 0) (b) (0, 1) c) (1, 2) (d) (2, 3)
1时, 函数
4. 当 x
x2
1
1
ex 1 的极限
x 1
等于 0
(
(a) 等于 2 (b) c) 为 (d) 不存在 , 但不为
1
5. 极限 lim
n
1
2
3
2
2
2
2
5
3
2
2n 1 2 的值是 n ( n 1)
2
(a) 0(b) 1
(c) 2 (d) 不存在
6. 设 lim
x
( x 1)95 ( ax 1)
2
5
( x
(c)
1)5
50
8 , 则 a 的值为
(a) 1(b) 2
8
(d) 均不对
7. 设 lim ( x 1)( x 2)( x
x
(3x
3)( x 4)( x 5)
2)
=
, 则 , 的数值为
(a)
= 1, =
1 3
x
(b)
= 5,
1 3
(c)
= 5, =
1 35
(d) 均不对
8. 设 f ( x) 2
3x
2 , 则当 x
0 时
(a) f(x) 是 x 的等价无穷小 (c) f(x) 比 x 较低价无穷小
(b) f(x) 是 x 的同阶但非等价无穷小 (d) f(x) 比 x 较高价无穷小
9. 设
lim (1 x)(1
x 0
2x)(1 3x) x
(c) 2(d) 3
a
6 , 则 a 的值为
(a) －1
(b) 1
10. 设 lim
x 0 a tan x b(1 cos x) 2 cln( 1 2x) d(1 e x )
(b) b = － 4d
(c) a = 4c
2，其中 a2 c2
0 , 则必有
(a) b = 4d
(d) a =－4c
三. 计算题 1. 求下列极限
1
(1)
lim (x
x
ex ) x
(2) lim (sin
2
cos ) x
1x
x
x
1 3x
(3) lim
x 0
1 tan x 1 sin x
2. 求下列极限 (1)
3
ln(1 x lim1) x 1 arcsin23 x2 1
2
(2) lim
1 cot 2 x x 2 x 0
3. 求下列极限 (1) lim
n
(n n 1)
n
ln n
1 e nx (2)
lim nx n 1 e
n
n
a
n (3) limb
, 其中 a > 0, b > 0
n
2
2
x2 (1 cosx)
x 0 4.f (x) 1
x
0
1 x
cost 2 x 0 dt
x 0
f (x) 在
x
0 的 性与可 性 .
5. 求下列函数的 断点并判 型
1
(1) f ( x)2 x 1
1
2 x 1
x(2 x
)
x
0
(2) f (x)
2 cos x
1
sin
x
2
1 x 0
1
sin
6. 函数 f ( x)x
xx 0
在 x = 0 的 性 .
ex
x
0
7. f(x) 在 [a, b] 上 , 且 a < x 1 < x2 < ? < xn < b, ci (I = 1, 2, 3, ? , n) 任意正数f ( )
c1 f (xc
1 ) c2 f ( x2 )
n .
c 1 c2 cn
8. f(x) 在 [a, b]上 , 且 f(a) < a, f(b) > b, 在 (a, b)内至少存在一个 , 使 f( ) = .
3
, 在 (a, b) 内至少存在一个, 使
9. 设 f(x) 在 [0, 1] 上连续 , 且 0
f(x) 1, 试证在 [0, 1] 内至少存在一个 , 使 f( ) = .
10. 设 f(x), g(x) 在[a, b] 上连续 , 且 f(a) < g(a), f(b) > g(b),
f( ) = g( ).
试证在 (a, b)内至少存在一个 , 使
5
证明方程 x－3x－2 = 0 在(1, 2) 内至少有一个实根 . 11.
12. 设 f(x) 在 x = 0 的某领域内二阶可导
, 且 limx 0sin 3xx 3
f ( x)x 2
0 , 求 f (0), f ' (0), f ' '(0) 及 limf (x) 3
x 0
x 2 .
4
第二章 导数与微分一 . 填空题 1 . 设 lim
f ( x0 k x)
f ( x10 )
f '( x0 ) ,
则 k = ________.
x
0
x
3
2. 设函数 y = y(x) 由方程 e
x
y
cos(xy)
0 确定 , 则 dy
______.
dx
3. 已知 f(－ x) =－f(x), 且 f ' ( x0 ) k , 则 f ' ( x0 )
______. 4. ,0 m x)
f (x0
设 f(x) 可导
n x)
则 limf ( x
_______.
x 0
x
5.
f ( x)
1 x , 则 f ( n ) ( x) = _______.
1 x
d
6. 已知
f 1 1 , 则 f ' 1 _______.
dx x2
x 2
dy 7. 设 f 为可导函数 ,
y sin{ f [sin f ( x)]} , 则
_______.
dx
8. 设 y = f(x) 由方程 e2 x y
cos( xy ) e
1 所确定 , 则曲线 y = f(x) 在点 (0, 1)处的法线方程为 _______.二. 选择题
1. 已知函数 f(x) 具有任意阶导数 , 且 f ' (x) [ f (x)] 2 , 则当 n 为大于
2 的正整数时 , f(x) 的 n 阶导数是
(a) n![ f ( x)]
n
1
(b)
n[ f ( x)] n 1 (c)
[ f (x)] 2n
(d)
n![ f ( x)] 2n
2. 设函数对任意 x 均满足 f(1 + x) = af(x),
且 f ' (0)
b, 其中 a, b 为非零常数 , 则
(a) f(x) 在 x = 1 处不可导
(b) f(x) 在 x = 1 处可导 , 且 f ' (1) a
(c) f(x) 在 x = 1 处可导 , 且 f ' (1) b
(d) f(x) 在 x = 1 处可导 , 且 f ' (1)
ab 3. 设 f ( x) 3x3
x 2 | x |, 则使 f ( n) (0) 存在的最高阶导数
n 为
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
4.
设函数 y = f(x) 在点 x 0 处可导 , 当自变量 x 由 x 0 增加到 x0 +
x 时 , 记 y 为 f(x) 的增量 , dy 为 f(x) 的微分 , lim
(a) －1
(b) 0 (c) 1 (d)
5
y dy
等于
x 0
x
(word完整版)考研专项练习高等数学--习题集.docx
