第五讲 方程组的解法
二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍． 例1 解方程组
解 将原方程组改写为
由方程②得x=6+4y，代入①化简得
11y-4z=-19． ④
由③得
2y+3z=4． ⑤
④×3+⑤×4得
33y+8y=-57+16，
所以 y=-1．
将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以
为原方程组的解．
说明 本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．
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解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快． 例2 解方程组
解法1 由①，④消x得
由⑥，⑦消元，得
解之得
将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以
解法2 由原方程组得
所以
x=5-2y=5-2(8-2z) =-11+4z=-11+4(11-2u) =33-8u=33-8(6-2x)
=-15+16x，
即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以
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为原方程组的解．
解法3 ①+②+③+④得
x+y+z+u=10， ⑤
由⑤-(①+③)得
y+u=6， ⑥
由①×2-④得
4y-u=4， ⑦
⑥+⑦得y=2．以下略．
说明 解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅． 例3 解方程组
分析与解 注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：
①+②得
x+u=3， ⑥
②+③得
y+v=5， ⑦
③+④得
z+x=7， ⑧
④+⑤得
u+y=9． ⑨
又①+②+③+④+⑤得
x+y+z+u+v=15．⑩
⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以
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为原方程组的解． 例4 解方程组
解法1 ①×2+②得
由③得
代入④得
为原方程组的解．
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为原方程组的解．
说明 解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消
为换元
法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程． 例5 已知
分析与解 一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形． ①-②消去x得
①×3+②消去y得
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初一奥数第05讲 方程组的解法
