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等腰三角形综合

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等腰三角形综合训练2024

1. 在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,∠ACB的平分线交AB于D,AE平分∠BAC交BC于E,连接DE,DF⊥BC于F,求∠EDC的度数.

3. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB,点C为x正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD,连接DA并延长,交y轴于点E.

(1)、求证:△OBC≌△ABD (2)、在点C的运动过程中,∠CAD的度数是否会变化?如果不变,请求出∠CAD的度数;如果变化,请说明理由。

(3)、当点C运动到什么位置时,以A,E,C为顶点的三角形是等腰三角形?

3.(1)、【问题探究】如图①已知锐角△ABC,分别以AB、AC为腰,在△ABC的外部作等腰Rt△ABD和Rt△ACE,连接CD、BE,是猜想CD、BE的大小关系 ; (2)、【深入探究】如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形,点D在边BC上(不与B、C重合),连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为 ;(不必证明)线段AD2 , BD2 , CD2之间满足的等量关系,并证明你的结论;

(3)、【拓展应用】如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.

4. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA.(1)、试求∠DAE的度数.

(2)、如果把原题中“AB=AC”的条件去掉,其余条件不变,那么∠DAE的度数会改变吗?为什么?

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5. 已知:如图,∠A=90°,BC∥AD,AB=6cm,点P从A出发沿射线AD运动,速度是每秒1cm,点R从点B出发沿射线BC运动,速度是每秒2cm,点Q在点P的右侧,且PQ=10cm,时间为t秒;求:(1)、△PQR的面积;(2)、当t=1秒时,求PR7. 在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,以AC为腰向外作等腰直角△ACE,∠EAC=90°,连接BE,交AD于点F,交AC于点G.(1)、若∠BAC=40°,求∠AEB的度数; (2)、求证:∠AEB=∠ACF;(3)、求证:EF+BF=2AC . 222的长;(3)、当t为何值时,△PQR是等腰三角形?

6. 已知△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,CD为AB边上的高.动点P从点A出 发,沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点,速度为2cm/s,设运动时间为t s.

(1)、求CD的长;(2)、t为何值时,△ACP是等腰三角形?

(3)、若M为BC上一动点,N为AB上一动点,是否存在M,N使得AM+MN 的值最 小?如果有,请直接写出最小值,如果没有,请说明理由。

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8. 如图:(1)、如图1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.

(2)、如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

(3)、拓展与应用:如图3,D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.

9. 已知:在△ABC中,AB=AC.D是直线BC上的点,DE⊥AB.垂足是点E. (1)、如图①,当∠A=50°,点D在线段BC延长线上时,∠EOB= ; (2)、如图②,当∠A=50°,点D在线段BC上时,∠EDB= ; (3)、如图③,当∠A=110°,点D在线段BC上时,∠EDB= ;

(4)、结合(1)、(2)、(3)的结果,∠EDB与∠A的数量关系是∠EDB=∠A. (5)、按你发现的规律,当点D在线段BC延长线上,∠EDB=50 不变时如图④,不用计算,直接填空∠BAC= .

,其余条件

10. 如图,在长方形ABCD中,AB:BC=3:4,AC=5,点P从点A出发,以每秒1个单位的速度,沿△ABC边A→B→C→A的方向运动,运动时间为t秒.

(1)、求AB与BC的长;(2)、在点P的运动过程中,是否存在这样的点P,使△CDP为等腰三角形?若存在,求出t值;若不存在,说明理由

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11. 如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒. (1)、出发2秒后,求PQ的长;

(2)、当点Q在边BC上运动时,出发几秒钟后,△PQB能形成等腰三角形? (3)、当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.

12. 如图,已知y=3x+3与x轴交于点B,与y轴交于点A,与函数y=x的图象交于点P (1)、在该坐标系中画出函数y=

的图象,并说明点P也在函数y=

13. 已知如图1,P为正方形ABCD的边BC上任意一点,BE⊥AP于点E,在AP的延长线上取点F,使EF=AE,连接BF,∠CBF的平分线交AF于点G. (1)、求证:BF=BC;(2)、求证:△BEG是等腰直角三角形;

(3)、如图2,若正方形ABCD的边长为4,连接CG,当P点为BC的中点时,求CG的长.

图象上;(2)、设直线y= 与x轴交于点C,与y轴交于点D,求证:PO平分∠APC;(3)、连接AC,求△APC的面积;(4)、在y轴上,是否存在点M,使△ACM为等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的所有点M的坐标;若不存在,请说明理由。

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14. 如图,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.

(1)、当A,B,C三点在同一直线上时(如图l),求证:M为AN的中点; (2)、将图1中的△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:△ACN为等腰直角三角形;

(3)、将图1中ABCE绕点B旋转到图3位置时,(2)中的结论是否仍成立?若成立,试证明之,若不成立,请说明理由.

15. 如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,连结CE交AD于点F,连结BD交CE于点G,连结BE.下列结论中,正确的结论有( ) ①CE=BD; ②△ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;④S四边形BCDE= ⑤BC+DE=BE+CD . A、1个B、2个C、3个D、4个

2

2

2

2

BD?CE;

16. 如图1,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.(1)、求证:AE+AD=2AC;(2)、如图2,若AE=3,AC= ,点F是AD的中点,求出CF的长.

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等腰三角形综合

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