邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
A级 基础巩固
一、选择题
→→
1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则AB·AC等于( B ) A．－1 C．1
B．0 D．2
→→→→
[解析]∵AB＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，AC＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴AB·AC＝1×(－3)＋1×3＝0．
2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为( C ) A．13
65 5
B．
13 5
C．D．65
[解析]∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝13，|b|＝65，
a·b5565∴cosθ＝＝.∴a在b上的射影为|a|cosθ＝13×＝．
|a||b|555
3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)则k＝( C ) 4A． 33C． 4
4B．－
33D．－
4
[解析] 由题意知(ka＋b)·(a－2b)＝0， 而ka＋b＝(2－k,3k－1)，
a－2b＝(－5,5)，
3
故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0，解得k＝．
4
4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝( C ) A．1 C．2
B．2 D．4
[解析] 由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0， 即2a·b－b＝0．
故2(－1＋n)－(1＋n)＝0，解得n＝3． 所以，|a|＝1＋n＝1＋3＝2．
2
2
2
2
2
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|等于( C ) A．5 C．5
B．10 D．25
2
2
2
[解析]∵a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，∴(a＋b)＝50＝a＋2a·b＋b，可得|b|＝5．
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( D ) 77
A．(，) 9377C．(，) 39
77B．(－，－) 3977
D．(－，－) 93
[解析] 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，77
则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－，故选D．
93
二、填空题
7．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝__2__． [解析] 因为a＋b＝(－1，3)， 所以|a＋b|＝－
2
＋3
2
＝2．
π
8．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，则x＝__1__．
4π3x＋2
[解析] cos＝，解得x＝1或x＝－4(舍)． 2
410×x＋4三、解答题
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值． [解析]ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0． 即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19． 10．已知a＝(3，1)，b＝(2,23)． (1)求a·b；
(2)求a与b的夹角θ．
[解析] (1)a·b＝23＋23＝43． (2)cosθ＝
43
x1x2＋y1y2
22
x2x21＋y1·2＋y2
＝
3
＝，
3＋1·4＋122
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b等于( B ) A．??31?
，? ?22?3??1
B．?，? ?22?D．(1,0)
?133?C．?，? ?44?
[解析] 方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，则
?x＋y＝1， ①?
?3x＋y＝3， ②
2
22
2
2
将②代入①得x＋(3－3x)＝1，即2x－3x＋1＝0， 13
∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝?y＝．
22
方法2：排除法，D中y＝0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B．
331→1→
2．(2016·全国Ⅲ，文)已知向量BA＝(，)，BC＝(，)，则∠ABC＝( A )
2222A．30° C．60°
B．45° D．120°
1331
×＋×→→22BA·BC223
[解析] 由题意得cos∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝30°，故
→→1×12|BA||BC|选A．
3．设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( B )
A．5 C．25
B．10 D．10
[解析] 由a⊥c，得2x－4＝0 则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2， |a＋b|＝
＋
2
＋－
2
＝10．
?π?4．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈?，π?，则向量a、b的夹?2?
角为( A )
2024_2024高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积2-4-2平面向量数量积的坐标表示模夹角检测新人教A版必
