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?utt?a2uxx?t?0,0?x?l???t?0??ux?0?ux?l?0??F0?l?x0??x?0?x?x0?。 ???Tl?ut?0???x???Fx?00(l?x)?x?x?l??0??Tl??u?0?x?l??tt?0?0分离变数，令u?x,t??X?x?T?t?，代入方程及边界条件，可得既满足方程又满足边界条件的通解为
n?an?a?n??u?x,t????Ancost?Bnsint?sinx。
ll?ln?1??代入初始条件，得 ??x??ut?0??Ansinn?1?n?x， l0?utt?0??Bnn?1?n?an?sinx。?Bn?0ll?n?1,2,L?
An?2ln??xsinxdx ???0lllFx?2?x0F0?l?x0?n?n? ???0xsinxdx??00?l?x?sinxdx? x0Tll?Tlll?2?F0?l?x0??l2n?lxn???sinx?cos?22l?Tlln?l?n??l2?x? ?0??2Fln?x0。 x???202sinTn?l?x0??lx0FxFx?ln?n?lxn??00cosx?00?22sinx?cosn?Tlx0Tl?n?ln?l2F0l?1n?x0n?an??u?x,t??sincostsinx。 ?22T?n?1nlll36、研究长为l，一端固定，另一端自由，初始位移为hx而初始速度为零的
弦的自由振动情况。 解：即求解定解问题
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?utt?a2uxx?t?0,0?x?l?? ?ux?0?uxx?l?0?t?0?。
?u?hx,u?0?x?l?tt?0?0?t?0分离变数，令u?x,t??X?x?T?t?， 可得：T????a2T?0， （1）
?X????X?0 ?， （2）
?X0?Xl?0?????1?21????n????n???由（2）解得：?n??22?，X?x??c2sin?2?x，n?0,1,2,L。
ll21?1????n???a?n???a由（1）解得：Tn?t??Ancos?2?t?Bnsin?2?t。
ll定解问题的通解为
?1?1??1????n??an??an???????????2?2?2?u?x,t????Ancos?t?Bnsin?t?sin?x。
lll?n?0?????由初始条件utt?0?0，得：
1?1???n??n???????22?sin??x?0， Bn??lln?0?Bn?0?n?1,2,L?。
由初始条件ut?0?hx，得：
1??n?????2?x?hx， Ansin??ln?0??n?1???A2l2???1n2hln?l?0hxsin?lxdx???， ??n?1?22?2????nn?1??a?1??u?x,t?????1?2hl??2????n?2???2costsinx n?0??1?2ll?n?2???n??n?1???a??n?1????2hl???1??2??2??2?2costsinx。 n?0???n?1?ll2??37、求解细杆的热传导问题。杆长为l，两端温度保持为零度，初始温度分
布为ut?0?bx?l?x?l2。 解：定解问题为
??ut?a2uxx?t?0,0?x?l? ??ux?0?ux?l?0?t?0?。 ???ubx?l?x?t?0?l2?0?x?l?令u?x,t??X?x?T?t?，则可求得X?x??Csinn?lx，n?1,2,???，n2?n2?2a2??满足T???2a2Ttl2tl2T?0?T?Ane。
22a2定解问题的通解为?u?x,t???A?n?n?nel2tsinn?1lx。 由初始条件?u?bx?l?x?bxt?0l2得：?An??l?x?nsinn?1lx?l2， A?2l?l0bx?l?x?n?2b?ln?ln??nl2sinlxdx?l3???0lxsinlxdx??0x2sinlxdx?? -*
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2b??l2n?lxn??3?l?22sinx?cosl??n?ln?l?22?x? ?03l?lxn?2lxn?2ln???cosx?22sinx?33cosln?ln?l?n???x?? ?0??l?2b?2l32l34bn?3?33?33cosn???33?1???1?? ?l?n?n??n???0???8b??2k?1?3?3??n为偶数,n?2k,k?1,2,L??n为奇数,n?2k?1,k?0,1,L?13。
?u?x,t??8b?3?n?0??2n?1?e??2n?1?2?2a2tl22n?1???sinx
l当t??时，u?0。整个杆达到平衡状态。
38、求解细杆的热传导问题。杆长为l，初始温度为均匀的u0，两端温度分
别保持为u1和u2。 解：定解问题为
?ut?a2uxx?t?0,0?x?l?? ?ux?0?u1,ux?l?u2?t?0?。
??0?x?l??ut?0?u0先将非齐次边界条件化为齐次边界条件。令u?x,t??v?x,t??w?x?，
??w???x??0使w?x?满足?，则w?x??Cx?D，（*）
w?u,w?u?12x?l?x?0将（*）代入wx?0?u1，得wx?0?u1?D?u1， 将（*）代入wx?l?u2，得wx?l?u2?C??w?x??u1?u2?u1x。 lu2?u1， l-*
?vt?a2vxx?t?0,0?x?l???vx?0?ux?0?wx?0?0?t?0??于是v?x,t?满足?v?u?w?0?t?0?，
x?lx?lx?l?u2?u1?v?u?wx?u?u?x?0?x?l???01t?0?l?t?0其通解为v?x,t???Anen?1??n2?2a2l2tsinn?x。 l由初始条件vt?0An??u?un?u2?u1x?u0?u1?21x， ?u0?u1?x得：?Ansinllln?1u2?u12l?u?u?01?l?0?ln??x?sinxdx
l???x?? ??0lu2?u1?l22?ln?n?lxn?????u0?u1?cosx?x?cos?22sinl?n?ll?n?ln?l?2?u0?u1??2?u2?u1?2?nnn1???1????1??u0?u1???1??u2?u0??。 ????n?n?n?????1???1?n???n2?2a2tu?u2??n?u?u??121?el2sinn?x ?v?x,t?????01?????n?1?nn?l???1?n???u0?u1???1??u2?u0?e??n?1n?2?n2?2a2l2tsinn?x。 l?u?x,t??v?x,t??w?x?
??1???1?n???n2?2a2tu?u2??u?u??1nu2?u1?el2sinn?x ?u1?21x?????01????l?n?1?nn?l???u?u21n?u1?21x???u0?u1???1??u2?u0??e?l?n?1n???n2?2a2l2tsinn?x。 l39、长为l的柱形管，一端封闭，另一端开放。管外空气中含有某种气体，
其浓度为u0，向管内扩散。求该气体在管内的浓度u?x,t?。 解：定解问题为
数学物理方法习题集解答（完整编辑版）
