-*
?弦在介质中的振动方程为：utt?a2uxx?R?ut，即
utt?but?a2uxx，a2?T?，b?R?。
32、长为l柔软均质轻绳，一端
（x?0）固定在以匀速?转动的竖直轴上。由于惯性离心力的作用，这绳的平衡位置应是水平线。试推导此绳相对于水平线的横振动方程。
解：研究位于x到x?dx这一
段绳A的振动情况。设绳的质量密度为?。A在纵向没有运动，于是A所受的纵向合力为零，即A所受的张力在纵向的合力等于其所受的惯性离心力，
T2cos?2?T1cos?1??ds?2x?0
即 T2cos?2?T1cos?1???ds?2x （1）
uvv在横向，由牛顿第二定律F?ma，得 T2sin?2?T1sin?1??dsutt （2）
在小振动条件下，有
cos?1?cos?2?1，ds?dx，
-*
注意到T2?Tx?dx，T1?Tx，由（1）得
Tx?dx?Tx???dx?2x，
即 dT????2xdx
于是绳中任一点x处的张力为
T?x???dT?????2xdx????2xdx?0lxTxl1（3）【?x,l?段的惯性离??2?l2?x2?。
2心力】
又sin?1?tan?1?uxx，sin?2?tan?2?uxx?dx，代入（2）得
?Tux?x?dx??Tux?x??dxutt，?即
??Tux???utt，（4） ?x?Tux?x?dx??Tux?xdx??utt
将T?x?的表达式（3）代入（4），得绳相对于水平线的横振动方程为
1?22 与?无关。 utt??2?l?xux?????2?x【0?x?l，边界条件ux?0?0，ux?l有限（自然边界条件）】
33、长为l的均匀杆，两端由恒定热流进入，其强度为q0。试写出这个热传
导问题的边界条件。 解：由热传导的傅里叶定律
uvvuvuv?uq??k?u，在边界?上有q?n??kn，其中为边界?的单位法线矢
??n?vvvvvv?u??u?n为u沿n的方向导数。在x?0端，q?n?q0i??i??q0，而?n?u?u??，所以 ?n?x量，
?? ?q0??k????u??u?q??k0??x??x?x?0。
x?0-*
vvvv?u?u 在x?l端，q?n??q0i?i??q0，而?，所以
?n?x???q0??k?u?x?q0?kx?l?u?x。
x?l即边界条件为：uxx?0??vuvvv??u?q0i,x?0或：在一维时，而q??v，由热传导的傅里叶定律q??k?u，?u?i，
?x???q0i,x?lvv?q0i,x?0?uv得?ki??，所以边界条件为 ??x???q0i,x?lq0，uxkx?l?q0。 k uxx?0??q0，uxkx?l?q0。 k34、半径为R而表面燻黑的金属长圆柱，受到阳光照射，阳光方向垂直于柱
轴，热流强度为M。设圆柱外界的温度为u0，试写出这个圆柱的热传导问题的边界条件。
解法一：如图取极坐标系，极轴垂直于阳光，由阳光照射而产生的，通过圆柱表面流入圆柱体的热流强度为
uuvuv??Msin?e??0????? q1??， ??????2????0 同样由阳光照射而产生的，通过圆柱表面流出圆柱体的热流强度为
uuvuv?uv?Msin?e0???????? q1??q1??。
0????2?????由圆柱本身的温度分布产生的热流强度为q2??k?u，而在极坐标系中
uuv?uuv1???e??e??，故其通过圆柱表面流出圆柱体的热流强度为
?????uuv?uv?uuv?v?uuuq2??ke?。总的通过圆柱表面流出圆柱体的热流强度为q1?q2，其
??uuv-*
v??uuv??u??uv?uu在表面的大小为q???q1?q2??e????k??????R????Msin?f???????0?f???，其中
??R?0?????。
????2???由牛顿热交换定律，知q应与?u??R?u0?成正比，即
?k?u???f????hu??R?u0，
??R?????u???Msin??hu0?0????????k?hu???f????hu0??，
?????2?????????R??hu0两边除以?h，即得边界条件为：
?Mk??u??sin??u0?0?????，。 H?u?H?h???h??????R?u?????2???0解法二：取如图的圆柱表面的一个小块来分析。 小块的面积为?s，厚度为?r，两个表面分别为?和??，n为?的外法线方向单位矢量，而n?为??的内法线方向单位矢量。单位时间流出小块的热量等于其能量的减少率，即
uvv?uv??c??r?s?n???k?u??s?h?u??u0??s?q1?n?s，（*）
?t??vvuuvuv??Msin?e?其中q1?????0'vuuv?0?????，n?e?。
?????2??uv?uv令?r?0，则???，n??n，（*）的左边趋于0，（*）成为
k?u?h?u??u0??f????0，（**） ?n?uvv??Msin?其中f????q1?n?????0?0?????，（**）两边除以h，即得边界条件：
?????2??-*
?Mk??u??sin??u0?0?????，。 H?u?H?u?f??h???0??h?????R??u0????2????第六章习题解答
35、长为l的弦，两端固定，弦中张力为T，在距一端为x0的一点以力F0把
弦拉开，然后突然撤除这力，求解此弦的振动。 解：先求出初始位移，分?0,x0?和?x0,l?两段来考虑。
设x0点的位移为h，则 在0?x?x0中，u?xtan?1?hx， x0h?l?x?。 l?x0在x0?x?l中，u??l?x?tan?2? 在小振动，?1、?2很小的条件下，利用力的平衡条件和小振动条件
sin?1?tan?1，sin?2?tan?2，得
?hh?Tlh， F0?Tsin?1?Tsin?2?Ttan?1?Ttan?2?T????xl?xxl?x0?0?0??0于是 h?F0x0?l?x0?。 Tl?ut?0?F0?l?x0?x??Tl???F0x0?l?x???Tl?0?x?x0??x0?x?l?。
?定解问题为
数学物理方法习题集解答(完整编辑版)
