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??z?n??2?z?n??4??L?1?65!???????3?1，
z?n?24??z?n???z?n????及??1???L65!?????????3???????
z?n?3???z?n?4?z?n????3?????L35!???????z?n???z?n????L??1?65!????24?????4??????
z?n?2???112?z?n????3?????L35!???????z?n???z?n????L??1?65!????24?? ???4?z?n?4?z?n???4????L35!??3????2??z?n???z?n????L?1?65!??24?????5???1 ???z?n???z?n??2?z?n??4??1???L65!???124??1??z?n???a4?z?n???L。
2???3??n?f?z??e?1?en?3??z?n??????1?n23?z?n???z?n?????L??z?n???2!3!???????? ??????z?n??24??1??a4?z?n???L2????， ??11?n?1n???1次幂项的系数a?1???1???en??1??en?????1??en???
2?2??2?1?n??Resf?n?????1??en???。
2??-*
z??不是f?z?的孤立奇点。
26、求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数。
??（1）e1??z??2?z?；（2）
1?z????z???1??z??2?z?m?????。
解:（1）z?0是f?z??e??的本性奇点，z??为其孤立奇点。
f?z?在z?0点的罗朗展开式为
???n?z??2????n!n?0n??e1??z??2?z??2?ee?1z??2z????????2? ?mm?0m!zn?mm???n?z??2????n!n?0nm????0????1???m??1???m?0?2??z?????m!?2?n!m!n?0m????mzn?m。
当m?n??1时，即m??n?1，n?m?2n?1时,zm?n的系数a?1即为
Resf?0?，所以
????1??????2?Resf?0??a?1??n!?n?1?!n?0n?1n???n?1?????1??????2???n!?n?1?!n?0n?12n?1【利用了m??n?1】。
????1??????2?Resf?????Resf?0????n!?n?1?!n?0n?12n?1????1??????2???n!?n?1?!n?0n2n?1。
（2）z??是f?z??1?z????z???m的m阶极点，而z??是f?z?的一阶（单）
-*
极点。
?1dm?1?1m?Resf????limm?1??z???? m?m?1?!z??dz??z????z??????1dm?1?1?limm?1??m?1?!z??dz?z??m?1?? ?m?1?1??m?1?!??1??11?lim???， mm?m?1?!z???z???m??????????Resf????lim?z???z??1?z????z???m?limz??1?z???m?1?????m。
Qz??,?是f?z?的仅有的二个有限远孤立奇点，
?Resf???????Resf????Resf??????0。
27、计算下列积分
（1）??z?1（2）??z?1dz； zsinzdz?z?a??z?b?nn,a?1,b?1,a?b,n为自然数；
1（3）
2?e2z??z?21?z2dz。
解:（1）z?0是被积函数f?z??1在单位圆内的孤立奇点。 zsinz??sinz?zcosz?z?0?0
Q?zsinz?z?0?0，?zsinz??z?0-*
?zsinz???z?0??2cosz?zsinz?z?0?2?0。
?z?0是zsinz的二阶零点，也就是f?z?的二阶极点。
d?21?d?z?z?lim??z?0?? z?0dzzsinzdzsinz?????Resf?0??lim?limsinz?zcoszcosz?cosz?zsinzz?lim?lim?0。 z?0z?0z?02coszsin2z2sinzcosz由留数定理，得
dz??z?1zsinz?2?iResf?0??0。
（2）由于a?1，b?1，?被积函数f?z??阶极点z1?a，z2?b。于是
1?z?a??z?b?nn在单位圆内有二个n
?1dn?1?1nResf?a??limn?1??z?a? nn?z?an?1!dz???z?a??z?b?????1dn?1??n?limn?1?z?b?? ??n?1?!z?adz?1?n??n?1?lim??n???n?1??????n?n?2z?b? ???????n?1?!z?a????1?n?1n?n?1?????2n?2?1?。 2n?1?n?1?!?a?b?n?n?1?????2n?2?1?。 2n?1?n?1?!?b?a?同理 Resf?b????1?n?1-*
由留数定理，得
???z?a??z?b?z?1ndzn?2?i??Resf?a??Resf?b???
?2?i??1?n?1?n?n?1?????2n?2??11??0。 ?2n?12n?1??n?1?!?b?a?????a?b??e2ze2z（3）被积函数f?z??， ?21?z?z?i??z?i??z1?i，z2??i是f?z?在圆z?2内的二个一阶极点。
??e2ie2zResf?i??lim??z?i?， ??z?iz?iz?i2i????????e2ze?2iResf??i??lim??z?i?。 ???z??iz?iz?i2i??????由留数定理，得
12??e2i?e?2ie2z1?Resf?i??Resf??i????i?2i??z?21?z2dz?2?2?i?????isin2。 ?28、求下列各积分值
（1）?02??d?d?2 ； （2）?0a?sin2?1?cos2??a?0?。
解:（1）Qcos2??1?cos2?， 22?2?4?d?2d?d? ?I??????003?cos2?03?cos?1?cos2?1?22?4?d?d?????。 03?cos?2?3?cos?
数学物理方法习题集解答（完整编辑版）
