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解: （1）z?0,z?i,z??i是
2?2?Q?z?z?1?????z?1z?z?1?22的孤立奇点且是极点。
z?02222??1?0， ??z?1?4zz?1????????z?0?z?0是z?z2?1?的一阶零点，从而是
22?2?Q?zz?1??????z?1z?z?1?22的一阶极点；
z??i2222???z?1?4zz?1?0， ????????z??i?z?z2?1?2???????z??i?2222???z?1?4zz?1????????3
z??i223???4zz?1?8zz?1?8z??????z??i?8??i??0，
?z??i是z?z2?1?的二阶零点，从而是
2z?1z?z?1?222的二阶极点。
Qz?1z?z?1?2在1 四阶零点。 ??1??11?? （2）Qcos在z??i的罗朗展开式cos的主要 z?in?0?2n?!?z?i?2nz?in部分有无穷多项， ?z??i是cos1的本性奇点。 z?i Qcos11在1?z??内解析，limcos?1， z??z?iz?i1??是cos的可去奇点。 z?i1?sinz?cosz11?1?2?sinz?cosz?2?2??1， ???2sin?z??4?? （3） ???1?sin?z??的零点zn?n??,n?0,?1,?2,L，是的极点。 4?4sinz?cosz?-* ???????n??又?sin?z????cos?z?????1??0， 4??4?z?zn?n????????z?zn?n???44?zn?n???4从而是,n?0,?1,?2,L,是sinz?cosz的一阶零点， 1的 sinz?cosz一阶极点。 z??是 1的奇点，但不是孤立奇点，因为在无穷远点的的任 sinz?cosz何邻域r?z??内,总有其它奇点。 1?ez23、求f?z??在孤立奇点处的留数。 z1?e1?ez解:1?e?0的解zn?i?2n?1??.???n?0,?1,?2L，是的奇点。 1?ezz1?ez1?ez??，?zn?i?2n?1??是 由于z?ilim的极点。又 z?2n?1??1?ez1?e?1?ez?z?1?e?????z?zn?i?2n?1??ez?1?ez??ez?1?ez??1?e?2ezz2z?zn?i?2n?1?? ??1?e?z2z?zn?i?2n?1????21???0， 2221?ez1?ez的一阶零点，从而是的一阶极点。 ?zn?i?2n?1??,n?0,?1,?2,L,是1?ez1?ez1?ezz??不是的孤立奇点，因为在它的任一邻域r?z??内,总有其它的z1?e奇点。 由推论2：Resf??i?2n?1?????1?ez1?ez?zez?zn?i?2n?1???1?e??z?z?zn?i?2n?1??1?1??2。 ?101?ezResf?【??i?2n?1?????2?i???2?2???8?i】 ?z?41?ezdz?2?in???1-* 24、求下列函数在指定点处的留数。 （1） z?z?1??z?1?2 在z??1,?； 1?e2z（2）4在z?0，?。 z解:（1）z?1为f?z??z?z?1??z?1?z2的一阶级点.， 的二阶极点。 ?limz?1z??1为f?z???z?1??z?1?2?Resf?1??lim?z?1?z?1zz?z?1??z?1?2?z?1?2?1， 4?d?zd?z?12Resf??1??lim??z?1??lim??。 ???2z??1dzz??1dzz?14???z?1??z?1?????由于z??1已是f?z?的所有有限孤立奇点， ?Resf???????Resf?1??Resf??1????0。 1?e2z（2）f?z??4在z?0的罗朗展开式为 zf?z????n?1??2z?n!z4n?2nzn?42n?4zn?????? n!n?1n??3?n?4?!?2344?a?1?????Resf?0???。 3!33由于z?0是f?z?的仅有的一个有限孤立奇点， ?Resf?????Resf?0??4。 31?e2z【f?z??3在z?0的罗朗展开式为 z-* f?z????n?1??2z?n!z3n?2nzn?32n?3zn?????? n!n?1n??2?n?3?!?22?a?1????2?Resf?0???2】 2!25、求下列函数在其奇点（包括无穷远点）处的留数，（m是自然数） （1）zmsin （m是自然数）； （2） ez1z2?z?1?； ez?1（3）3。 sinz解: （1）z?0是f?z??zmsin的有限远孤立奇点。在z?0,f?z?的罗朗展开 ??1????1?m?式为f?z??z?。 ?2n?12n?1?m2n?1!z2n?1!z??n?0?n?0??nn1z令2n?1?m?1,则n?m。 2Qn为非负整数，?只有m为偶数时上式才成立。 而当m为奇数时,2n?1?m?1，即f?z?在z?0的罗朗展开式中没有?1次幂项，即a?1?0。 ?当m为奇数时, Resf?0??0。 当m为偶数时,n?Resf?0??m2??1?，所以，此时m的项是?1次幂项，a?1?2?m?1?!m2??1??。 ?m?1?!-* ??1??1???1?。 总之，不管m为偶数或奇数，都有Resf?0??2?m?1?!（2）z?1是f?z??ezm2m?z?1?2的唯一的有限奇点,且是二阶极点。 d?ez?2?Resf?1??lim??z?1??e， 2?z?1dz?z?1??????Resf?????Resf?1???e ez?1（3）z?n?，n?0,?1,L，是f?z??3的孤立奇点。 sinzf?z?在z?n?点的罗朗展开式为 en?ez?n??1f?z????1?nsin?z?n??3 23?z?n?z?n?????en??1?en???z?n?????L2!3!?n????1?335???z?n????z?n???L??z?n????3!5!???????? 23?z?n???z?n???e?1?e??z?n?????Ln2!3!?1??????33?z?n????z?n??2?z?n??4???L??1?65!????n?n????? ??z?n??2?z?n??4??L?1?65!??z?n???在z?n?解析，且为?z?n??的偶函数,所以它在???3处的泰勒展开式中只有?z?n??的偶次项。而
数学物理方法习题集解答（完整编辑版）
