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由?hu?ku????a?f????????qsin??0?????，得
?????2????0?cosm??Bm?sinm???f???， hC0???ha?km?am?1?Amm?1上式相当于在?0,2??区间上将f???展成傅里叶级数，由展开系数公式得：
C0?12h??2?0f???d??q2h???0sin?d??q， h?1??Am?ha?km?am?1??02?f???cosm?d?
?1?ha?km?am?1??0qsin?cosm?d?
????cos?m?1??cos?m?1???q?? m?1?2?m?1???ha?km?a??2?m?1?0m?1???1?m?1?1??1?m?1?1?1???1?qq??? ???m?1m?12?ha?km?a??2?m?1?2?m?1???ha?km?a?1?m???0?当m?1为奇数,m?2n?1,n?1,2,?????2q1??， ?当m为偶数,m?2n,n?1,2,???????ha?2nk?a2n?1?1?4n2???A1??1?ha?k???0qsin?cos?d? ?0??q ?2?ha?k????Bmsin2?d????1?cos2?0?0。
4?ha?k??1?ha?km?am?1??0qsin?sinm?d?
???sin?m?1??sin?m?1???q???0,当m?1， m?1?2?m?1???ha?km?a??2?m?1?0qB1???ha?k???0?qsin2?d??q。
2?ha?k?-*
qq2q??2ncos2n?。 ?u??,?????sin???2n?1h?2?ha?k??n?1a?ha?2nk??1?4n2?43、用傅里叶变换求解定解问题
??2u?2u??x2??y2?0,???uy?0???x?,??uy???0,??????x??,y?0?????x???????x???。
解：由于x在???,??内变化，对x进行傅里叶变换
2?%%??u?uyy?0?，（*） ?%%??%u?0???,u?y???y?0%%其中u?u??,y?，
%（*）的通解为u?C1???e?y?C2???e??y，?????,??。
%由uy??%??C2???e??y?当??0时，C1????0,u?0，得?， ?y%?C1???e??当??0时，C2????0,u??y??C2???e,??0????y%???C?e所以总的可写为u， ????y?C1???e,??0???其中C???????C2???,??0。
??C1???,??0%%%由u。 ?????，得C??y?0%%?u?????e??y。
进行傅里叶反变换，得
1u?x,y??2?1%u?,yed???????2??i?x??????%????e??yei?xd?
1?2??12??1?????2??????????????e?i??d??e??y?i?xd?
????y?i??x－???????ed??d?， ??????-*
而?e?????y?i??x－??d???e??0?y?i??x－??d???e0???y?i?x－???d?
?ey?i?x????y?i??x－??0???e11 ???y?i?x???y?i?x????y?i?x???0??y?i??x－????2y?x???2?y2，
代入上、下限时应注意到y?0，
?u?x,y?????x?????1?y????d?2?y2。
第七章习题解答
44、试用平面极坐标系把二维波动方程分离变数。 解：二维波动方程在极坐标系中可表为 utt?a2?u???u????1??。 （1） u2?????1令u??,?,t??T?t?R???????，代入（1），得：
??11T??R??a2?TR????TR???2TR????。 （2）
????（2）的两边除以a2TR?，得
T??R??R?1???????。 （3） a2TR?R?2?（3）的左边仅是t的函数，而右边却是?，?的函数，
?（3）的两边只能等于同一常数，记为?k2，从而
T???t??k2a2T?t??0?T?t??Acoskat?Bsinkat。
R??R?1?????2???k2， （4） R?R??（4）的两边乘以?2，并移项得
-*
?2R??R????。 ???k2?2??RR?同理上式两边只能等于同一常数，记为?。于是
???????0，?????????2??，???????????2??
??m2，?m?0,1,2,????，?????Ccosm??Dsinm?。
?2R??R????k2?2???m2， RR?2R????R???k2?2?m2?R?0，
令x?k?，R????y?x?，得
x2y???x??xy??x???x2?m2?y?x??0， m阶Bessel eq.
45、用平面极坐标系把二维输运方程分离变数。 解：在平面极坐标系中，二维输运方程为
ut?a2?u???u??2u??? （1）
?????11?令u??,?,t??T?t?R???????，代入（1），得：
T?R??a2?TR????TR???2TR????。 （2）
?????11?（2）的两边除以a2TR?，得
T?R??R?1???????. a2TR?R?2?上式左边仅是t的函数，而右边却是?，?的函数，
?上式两边只能等于同一常数，记为?k2，从而
T??t??k2a2T?t??0?T?t??Ae?kat。
22R及?与上一题的相同。
46、求证Pl?x??Pl??1(x)?2xPl??x??Pl??1?x?，l?1。
-*
证：勒让德多项式的生成函数为
11?2xr?r2??rlPl?x?，r?1。（1）
l?0?两边对x求导，得
r(1?2xr?r)322??rlPl??x?。
l?0?两边乘以(1?2xr?r2)，得
r1?2xr?r2?(1?2xr?r)?rlPl??x?，（2）
2l?0?（1）代入（2），得
?rl?0?l?1Pl?x???rPl??x??2x?rPl??x???rl?2Pl??x?，
ll?1l?0l?0l?0???比较两边rl?1项的系数，得
?Pl?x??Pl??1?x??2xPl?x??Pl??1?x?。
47、利用上题和?l?1?Pl?1(x)??2l?1?xPl(x)?lPl?1(x)?0，l?1，
求证?2l?1?Pl?x??Pl??1?x??Pl??1?x?，l?1。 证：对勒让德多项式的递推公式
?l?1?Pl?1?x???2l?1?xPl?x??lPl?1?x??0 （1）
两边对x求导，得
?l?1?Pl??1?x???2l?1?Pl?x???2l?1?xPl??x??lPl??1?x??0。 （2）
?又由上题，得：Pl?x??Pl??1?x??2xPl?x??Pl??1?x?， （3）
?2??l??3?，得Pl??1?x??xPl??x???l?1?Pl?x?。 （4）
从（3）及（4）中消去Pl??1?x?，得
?xPl?x??Pl??1?x??lPl?x?。 （5）
数学物理方法习题集解答（完整编辑版）
