表示 ：
.
第五章 向量代数与空间解析几何
5.1 向量
既有大小又有方向的量
或 a
（几何表示 ）向量的大小称为向量的模 ，记作 | AB |、 |a|、 | a |
1． 方 向 余 弦 ： (cos
, cos ,cos )
x , y
,
z
r ＝ （ x ， y ， z ） ,| r| r | | r | |r |
|=
x2 y 2 z2
2． 单位向量 a (cos , cos ,cos ) 模为 1 的向量 。 3． 模
| a |
x2
y2 z2
a a
4． 向量加法 （减法 ） a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
5． a·b＝ | a | ·|b | cos
x1x2
y1y2
z1 z2
a⊥b a·b＝0（ a·b＝ b ·a）
6． 叉积 、外积
i j k
|a b| =| a || b |sin = ax
ay az
bx
by bz
a// bz1
a b＝ 0.( a b= - b a)
x1 y1
x2
y 2
z2
7． 数乘 ： k aka (kx, ky,kz)
例 1 | a |
2,| b |
1， a 与 b 夹角为 ，求 | a b |。
3
解 | a b | (a b) ( a b ) a a 2 a b
b b
| a |2 2 | a || b | cos
| b |2
22
2 2 1 cos
1
7
3
.
.
AB
.
例 2 设 (a
b) c 2 ，求 [( a b) (b c)] (c a) 。
解 根据向量的运算法则
[( a b) (b c)] (c a) [( a b) b (a b) c] (c a)
[( a b) b] ( c
a) [( a b) c] (c
a)
(a b) (c a) [( a b) c] a (a b) c (a c) a (b c) a
(a b) c (a b) c
2(a
b) c 4
例 3 设向量 a i
j k ， b 3i 4 j
5k ， x a
b ， 为实数 ，试证：当模最小时 ，向量 x 必须垂直于向量 b。
解 由 a i
j
k ， b 3i 4 j 5k 得 | a |2 3,| b |2
50 ， a b
12，于是
| x |2 (a
b)2 | a |2
2
| b |2 2 a b
2
3
24
50 2
50
6 3
25 25
由此可知 ，当
6 时，模 | x | 最小，因而 x a 6 b 7 ,
1 , 5
25
25
25
25
25
故
x b
7 , 1 , 5 (3, 4,5)
0
25 25 25
所以 ，当模 x 最小时 ，向量 x 必须垂直于向量
b。
8． 向量的投影
Prj a b＝ |b | cos
为向量 b 在向量 a 上的投影 。 a·b＝ | a | Prj a b
. .
x
.
5.2 空间平面与直线
5.2.1 空间平面
点法式方程 ：与定点 p0 ( x0 , y0 , z0 ) 连线和非零向量
n ＝（ a，b ，
c）垂直的点的集合
。
a( x x0 ) b( y y0 ) c( z z0 ) 0 。
平面的一般方程 ： Ax 截距式方程 ：
By z 1 c y y1
Cz D
0 ， n＝（ A， B， C）
x
a x
y b x1
z z1 z2 z1 z3 z1
三点式方程
x2 x1 x3 x1
y2 y1 y3 y1
0
例 1 求过 O(0,0,0) ， A(1,3,2) ， B(2, 1, 1) 点的平面方程
i 1 2
j 3 1
k 2 1
解（1）点法式
n＝ OA OB
( 1,5, 7) 。
则平面方程为
(x 0) 5( y
0) 7( z 0) 0 ，即 x 5 y 7z 0 。
解（ 2）设平面方程为 Ax
By Cz
D 0 ，代入 O(0,0,0) 得 D
解之得 B
0 。
代入 A(1,3,2) ， B(2, 1, 1) 得
A 3B 2C 0 2A
B C
5A,C
7 A
0
代入方程消去 A，得方程为 x
5 y 7z 0
例 2 一平面通过点
(1,2,3) ，它在正 x 轴，正 y 轴上的截距相等 ，问此平面在三坐标面
？并写出此平面方程 。
上截距为何值时 ，它与三个坐标平面围成的四面体的体积最小
解 依题意设所求平面的截距式方程为
有 x y a a
z c
1 ，由于点 (1,2,3) 在此平面上 ，故
1
a
2 a 3 c
1，解之 c
四面体之体积 V
1
6
3a 。 a 3 a a
3a1 a3
a 3 2 a 3
， V
1 3a2 (a 3) a3
( a 3) 2 2
，
. .
x
1
.
令 V 0 得 a9
, c 9 。
2
例 3 求过点 A(1,1, 1)， B( 2, 2,2) 和 C(1, 1,2) 三点的平面方程 。
x 1 y
1 z 1
解 由三点式方程
3 3 3 0
0
2
3
故所求方程为
3( x 1) 9( y 1) 6( z 1) 0 ，即 x 3y 2z 0
5.2.2 空间直线
方向向量 ：平行于一已知直线的任一向量称为直线的方向向量 。易知直线上的任一向量都平行于直线的方向向量 .
若设已知向量为 v
(l , m, n) ，则直线的对称式方程为 x x0
y y0 z z0
l
m
n
一般式方程 ：A
1x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2
0
x
x0 mt, 参数式方程 ： y
y0 nt,
z
z0
pt .
例 1 求过点 (1,1,2) 点，且与直线y 3x 1
平行的直线方程
z 2x
5
x
x
解 将直线写成
y 3x 1 ，以 x 为参数 ，则 v (1,3,2) ，故直线方程为
z
2x
5
y 1 z 2
1
3 2
例 2 求 过 点 p0 ( 1,2, 3)
且平行于平面
: 6x
2y 3z 1 0，又与直线
x 1 y1 z 3
相交的直线方程
。
3
2
5
解 设 Q (x, y, z) 为两直线的交点 ，则
// ,
0 即
P0Q P0Q n
,
6(x 1) 2( y 2) 3( z
3) 0 ，
（1）. .
.
又 Q 在 L 上：
x 1
3
y 1 z 3
2 5
（2）
令（ 2） = t 解得 x, y, z 代入 (1)解得 t 为
0 ，在反代入 （ 2）得 Q 的坐标为 (1, 1,3) ，得直线
x 1 y 2 2 3
z
6
3
5.3 点、平面、直线的位置关系
1． 点到平面的距离
点 P0 ( x0 , y0 z0 ) 到平面 Ax+By+ Cz+ D= 0 得距离公式为 ：
| Ax0
d =
By0 A
2
Cz0 D | B
2
C
2
例 1 求平面 x 2 y 2 z 6 0 和平面 4x y 8z
，故
8 0 的交角平分面方程 。
平分面上的点到两面之间距离相等
| x
2 y 2z 6 | | 4x y 8z 8 |
42 12 82 1 22 22 2z 10 y2
z2
0
整理得 ： x 7 y 14x 26 0 或 7 x 5y y z y z2
9 且与球面 x2
例 2 求平行于平面 x 解 由于所求平面与 因为
4 相切的平面方程 。
x z 9 平行 ，故可设其为 : x y z D 0 。
与球面 x2 y2
4 相切，所以球心 (0,0,0) 到 的距离 2
| 0
12
0 0 D |
2，解之， D
3 ，故所求平面方程为
12 12
x y z 2 3 0 和 x y z 2 3
2． 点到直线的距离
0
点 M1 到直线 L 的距离为
d
| M 0M 1 s |
| s |
例 3 求点 M0(3,
4,4) 到直线
x 4
2
y 5 2
z 2
的距离。
1
. .
高等数学向量代数与空间解析几何复习试题
