【解答】解：满足条件的边长为2正方形ABCD中落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）， 则正方形的面积S正方形＝4， 阴影部分的面积，
故落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的概率P ， 随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的频率为：
，
即有：p ，解得：π＝3.1488； 故答案为：3.149
15．现从80瓶水中抽取6瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将80瓶水编号，可以编为00，01，02，……，79，在随机数表中任选一个数，例如选出第6行第5列的数7（下面摘取了附表1的第6行至第10行）．
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 5916 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 57 60 86 32 4409 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
规定从选定的数7开始向右读，依次得到的样本为 77，39，49，54，43，17 【解答】解：找到第6行第5列的数开始向右读， 第一个符合条件的是77，
第二个数是94，因为它大于80，舍去． 第三个数是39， 第四个数是49， 第五个数是54，
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第六个数是43．
第七个数是54，重复，舍去．
第八个数是82，因为它大于80，舍去． 第九个数是17．
故答案为：77，39，49，54，43，17．
16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是 ， ． 【解答】解：当x≥0时，f（x）＝x2 ∵函数是奇函数
∴当x＜0时，f（x）＝﹣x2 ∴f（x） ，
＜
∴f（x）在R上是单调递增函数， 且满足2f（x）＝f（ x），
∵不等式f（x+t）≥2f（x）＝f（ x）在[t，t+2]恒成立， ∴x+t x在[t，t+2]恒成立， 即：x≤（1 ）t在[t，t+2]恒成立， ∴t+2≤（1 ）t 解得：t ，
故答案为：[ ，+∞）． 三、解答题
17．记数列{an}的前n项和为Sn，已知点（n，Sn）在函数f（x）＝x2+2x的图象上． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设
，求数列{bn}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）由题意点（n，Sn）在函数f（x）＝x2+2x的图象上， 知 ．
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1； 当n＝1时，a1＝S1＝3，适合上式． 所以：an＝2n+1．
（Ⅱ）∵ ，
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则
．
18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数． 分数段 x：y [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） 1：1 2：1 3：4 4：5
【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）＝1，解得a＝0.005；
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05＝73（分）；
（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05＝5， 数学成绩在[60，70）的人数为： ， 数学成绩在[70，80）的人数为： ，
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数学成绩在[80，90）的人数为：
， 所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25＝10． 19．设f（x）＝cos2x﹣2cos2（x ）+1． （1）求f（x）的单调增区间；
（2）在锐角△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝1，a＝1，求△ABC
面积的最大值．
【解答】解：（1）f（x）＝cos2x﹣2cos2（x ）+1＝cos2x﹣cos2（x ）＝cos2x﹣cos（2x ） ＝cos2x cos2x 则由2kπ
sin2x cos2x
sin2x＝sin（2x ），
2x 2kπ ，k∈Z，
得kπ x≤kπ ，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ ，kπ ]，k∈Z． （2）若f（）＝1，则sin（2 ）＝sin（A ）＝1，
∵A是锐角，∴A ，得A ． ∵a＝1，
∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA， 即1＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc， ∴bc≤1，
当且仅当b＝c时取等号， 则三角形的面积S bcsinA
，
即三角形面积的最大值为．
20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AC，BB1的中点． （1）证明：BD∥平面AEC1；
（2）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角A﹣EC1﹣B的余弦值．
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【解答】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：取AC1的中点为F，连接DF，EF．
∵D，F分别为AC，AC1的中点，∴DF∥CC1，且 2' ∵E为BB1的中点∴ 且 ．
∴DF∥BE且DF＝BE，∴BEFD为平行四边形，∴BD∥EF．…………………4' ∵EF?平面AEC1，BD?平面AEC1，∴BD∥平面AEC1．…………………6' （Ⅱ）解：设BC的中点为O，连接AO，
∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，∵侧面都是正方形，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∵AB，BC?平面ABC且AB∩BC＝B，∴BB1⊥平面ABC，
∵AO?平面ABC，∴AO⊥BB1，∵BC∩BB1＝B，∴AO⊥平面BB1C1C．………………8' 取B1C1中点为O1，连接OO1，则OO1⊥BC．
以O为原点，以OB、OO1、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图． 设AB＝2，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， ， ．
设平面AEC1的法向量为 ， ， ，则
令x＝1，得 ， ， ，
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2024-2024学年陕西省汉中市高二（上）期中数学试卷（理科）
