图3-9
以刚性梁为研究对象，由平衡方程?MA?0得 由此得
由图3-9可以看出， 可见，
根据k的定义，有 于是得
FNa?FN(a?b)?F(2a?b)
FN?F
?y?? (2a?b)
Δl?Δy1?Δy2??a??(a?b)??(2a?b)
Δy?Δl
(b)
FN?kΔl?kΔy
Δy?FNF? kk3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂
位移。
题3-10图
（a）解：
利用截面法，求得各杆的轴力分别为
FN1?FN2?F （拉力）FN4?2F （压力）
FN3?0
于是得各杆的变形分别为
?l1??l2??l4?Fl (伸长) EA2F?2l2Fl＝ (伸长) EAEA?l3?0
如图3－10(1)所示，根据变形l1与l4确定节点B的新位置B’,然后，过该点作长为
l+l2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节
点A的新位置。
于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为
ΔAx?0
ΔAy??l1?2?l4??l2?Fl2FlFlFl ?2??21?2EAEAEAEA??
图3-10
（b）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为
FN1?F （拉力）
FN2?0
于是由图3－10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为
Fl EAFl ΔAy??l1?EAΔAx??l1?3-11 图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，
横截面面积分别为A1=320mm与A2 =2 580mm。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，?应取何值（即确定节点A的最佳位置）。
2
2
题3-11图
解：1.求各杆轴力 由图3-11a得
FN1?F， FN2?Fctanθ sinθ
2.求变形和位移 由图3-11b得
图3-11
Δl1?FN1l1Fl2Fl2Flctanθ ?， Δl2＝N22?2EA1EA1sin2θEA2EA2及
3.求θ的最佳值 由dΔBy/dθ?0，得
Δl1Δl2Fl22ctan2θΔBy???(?)
sinθtanθEA1sin2θsinθA2?2(2cos2θsinθ?cosθsin2θ)2ctanθ?csc2θ??0
A1A2sin22θsin2θ由此得
2A1cos3θ?A2(1?3cos2θ)?0
将A1与A2的已知数据代入并化简，得
cos3θ?12.09375cos2θ?4.03125?0
解此三次方程，舍去增根，得
由此得θ的最佳值为
cosθ?0.564967
θopt?55.6?
3-12 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的
应力应变关系为
n=B，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。
解：两杆的轴力均为
题3-12图
轴向变形则均为
于是得节点C的铅垂位移为
FN?F 2cos?Fl? ?l??l?l?????2Acos??BB?nn?lFnl ΔCy??cos?2nAnBcosn?1?3-13 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在
梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm，弹性模量E = 200GPa，梁长l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。
2
题3-13图
解：1.求各杆轴力 由?Fx?0，得
由?Fy?0，得
2．求各杆变形
FN2?0
FN1?FN3?F?10kN 2Δl2?0
FN1l10?103?1.000Δl1??m?5.0?10-4m?0.50mm?Δl3 9?6EA200?10?100?103．求中点C的位移
材料力学答案第三版单辉祖
