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第14讲 相 交 线
1.垂线的性质:过一点可以作一条并且只能作一条直线与已知直线垂直
2.点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长度;在连结点到直线上所有点的线段中,垂线段最短. 3.两条直线相交就产生对顶角;对顶角相等.
4.当两条直线分别与第三条 直线相交,就产生同位角、内错角、同旁内角等位置关系的角,常见的图形有:
“三线八角”中:4对对顶角,如∠1与∠3∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠ 4对同位角,如∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8. 2对内错角,如∠3与∠5、∠4与∠6. 2对同旁内角,如∠3与∠6、∠4与∠5. 5.形成技能:
(l)n条直线交于一点,可以产生n(n-1)对对顶角;
(2)平面内有n条直线相交,其交点个数最多为1?2?3???(n?1)?
题1 图中与∠1是同位角的是
n(n?1) 2
此题容易遗漏答案,可把组成∠1的两条直线分别看作截线和被截线,寻找第二条被截线.
解 ∠DCB、∠DCE、∠DCG、∠CFH.
此题若要探究图中共有多少对同位角?多少对内错角?多少对同旁内角?则需将图形分解成以
下几个基本图形来考查:
从中不难发现:有17对同位角;有11对内错角;有11对同旁内角,
读一题,练3题,练就解题高手
1-1.下列说法中正确的是( ).
A.两条直线被第三条直线所截,内错角相等
B.相等的角是对顶角
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2
C.互余的两个角一定都是锐角
D.互补的两个角一定有一个角是钝角,另一个角为锐角
l-2.如图,直线a∥b,点B在直线b上,且AB?BC,?1?55?,则?2的度数为( ).
A.35o B.45? C.55o D.125?
1-3.(江苏省第十七届初中数学竞赛)若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角____对.
题2 如果n条不同的直线相交于不同的一点,那么图形中共有多少对对顶角?(n≥2).
我们知道每两条直线相交都产生两对对顶角,那么n条直线交于一点中,有多少组两条直线相
交,这是解决问题的关键.
解 我们从最简单的情形出发找规律,
如图(1),当n=2时,显然是两条直线相交,有两对对顶角;如图(2),当n=3时,由于每两条直线相
3?2?3种,所以共有6对对顶角;?,一般地,若2n(n?1)有n条直线交于一点,由于每两条直线相交都产生两对对顶角,而n条直线两两相交的情况有
2n(n?1)?2?n(n?1)对对顶角. 种,所以一共有
2交都产生两对对顶角,而3条直线两两相交的情况有
解决本题的方法是一种由特殊到一般的归纳方法,找准问题的实质(即n条直线交于一点中,有
多少组两条直线相交)是解题的关键.若 n条直线并非交于一点,而是一般情形下的两两相交,那么对顶角又有多少对呢?其实,问题的实质并没有改变,因此对顶角还是n(n-l)对.
读一题,练3题,练就解题高手
2-1.3条直线相交于一点,共可组成 对对顶角. 2-2.(第19届“希望杯”)若在平面内有6条直线,其中任意两条不平行,且任意三条不共点(即不相
交于同一点),则这6条直线将平面分成了 个部分.
2—3.(第十届“希望杯”全国数学邀请赛)给出下列四个命题 (1)如果两个角是对顶角,则这两个角相等;
(2)如果两个角相等,则这两个角是对顶角; (3)如果两个角不是对顶角,则这两个角不相等;
(4)如果两个角不相等,则这两个角不是对顶角.其中,正确的命题有( ). A.1个 B 2个 C 3个 D.4个
题3 (第13届“希望杯”全国数学邀请赛)爸爸给女儿圆圆买了一个(圆柱形的)生日蛋糕,圆圆想把蛋糕切成大小不一定相等的若干块(不少于10块),分给10个小朋友,若沿竖直方向切分蛋糕,至少需要切( )
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3
A.3刀 B.4刀 C.6刀 D.9刀
本题实质上就是考虑最少几条相交直线将平面分成不少于10个部分.
解 一条直线将平面分成2个部分;两条直线将平面分成3个或4个部分,其中当两直线相交时,分平面所得的部分最多;
三条直线最多将平面分成7个部分,此时三条直线两两相交且交点最多(3个); 四条直线最多将平面分成11个部分,此时四条直线两两相交且交点最多(6个). 由此可知,将圆柱形蛋糕切成大小不一定相等的若干块(不少于10块),则沿竖直方向至少需切4刀,如图所示.
故选B.
由本题我们可探究“n条直线最多可将平面分成多少个部分”.
从图(1)到图(2),我们发现图中多了一个交点,而平面被多分了2个部分,即为2+2=4个部分;从图
(2)到图(3),我们发现图中多了两个交点,而平面被多分了3个部分,即为2+2+3-7个部分;从图(3)到图(4),我们发现图中多了三个交点,而平面被多分了4个部分,即2+2+3+4 =11个部分.
于是,我们发现,每多m个交点,则平面被多分出m+l个部分,因此,我们得到:n条直线最多可将平面分成为2?2?3?4???n?1?n(n?1)个部分. 2 读一题,练1题,决出能力高下
3-1.种7棵树,使其中的每3棵树在一直线上,共排成6行(每行只有3棵树).请你设计种树的位置.
题4 如图,在长方形内画了一些直线,已知边上有三块面积分别是13,35,49,那么图中阴影部分的面积是
注意到s?BC.E?11s?矩形,s?CDF??S?ADF?s?BCF?S矩形,从而有S?.BCE?S?ADF?S?BCF,进而 22找准求阴影部分面积的切入点.
解 如图,设图中两块三角形的面积分别为x,y,则有(35?x?49)?(13?y)?x?S阴?y?
?S阴?35?49?13?97.
寻求未知区域面积与已知区域面积的关系是解决此类问题的关键.
读一题,练3题,冲刺奥数金牌
4-1.(新加坡竞赛题)如图,AD、BE、CF交于△ABC内一点P,并将△ABC分成六个小三角形,其中四个
小三角形的面积已在图中给出,求△ABC的面积.
第14讲 相交线-举一反三
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