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第14讲 相 交 线
1．垂线的性质：过一点可以作一条并且只能作一条直线与已知直线垂直
2．点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长度；在连结点到直线上所有点的线段中，垂线段最短． 3.两条直线相交就产生对顶角；对顶角相等．
4．当两条直线分别与第三条 直线相交，就产生同位角、内错角、同旁内角等位置关系的角，常见的图形有：
“三线八角”中：4对对顶角，如∠1与∠3∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠ 4对同位角，如∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8． 2对内错角，如∠3与∠5、∠4与∠6． 2对同旁内角，如∠3与∠6、∠4与∠5. 5．形成技能：
(l)n条直线交于一点，可以产生n(n-1)对对顶角；
(2)平面内有n条直线相交，其交点个数最多为1?2?3???(n?1)?
题1 图中与∠1是同位角的是
n(n?1） 2
此题容易遗漏答案，可把组成∠1的两条直线分别看作截线和被截线，寻找第二条被截线．
解 ∠DCB、∠DCE、∠DCG、∠CFH．
此题若要探究图中共有多少对同位角？多少对内错角？多少对同旁内角？则需将图形分解成以
下几个基本图形来考查：
从中不难发现：有17对同位角；有11对内错角；有11对同旁内角，
读一题，练3题，练就解题高手
1-1．下列说法中正确的是( )．
A.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．相等的角是对顶角
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2
C．互余的两个角一定都是锐角
D．互补的两个角一定有一个角是钝角，另一个角为锐角
l-2．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB?BC,?1?55?,则?2的度数为( )．
A.35o B.45? C.55o D.125?
1-3．（江苏省第十七届初中数学竞赛）若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角____对．
题2 如果n条不同的直线相交于不同的一点，那么图形中共有多少对对顶角？（n≥2）.
我们知道每两条直线相交都产生两对对顶角，那么n条直线交于一点中，有多少组两条直线相
交，这是解决问题的关键．
解 我们从最简单的情形出发找规律，
如图(1)，当n=2时，显然是两条直线相交，有两对对顶角；如图(2)，当n=3时，由于每两条直线相
3?2?3种，所以共有6对对顶角；?，一般地，若2n(n?1)有n条直线交于一点，由于每两条直线相交都产生两对对顶角，而n条直线两两相交的情况有
2n(n?1)?2?n(n?1)对对顶角． 种，所以一共有
2交都产生两对对顶角，而3条直线两两相交的情况有
解决本题的方法是一种由特殊到一般的归纳方法，找准问题的实质（即n条直线交于一点中，有
多少组两条直线相交）是解题的关键．若 n条直线并非交于一点，而是一般情形下的两两相交，那么对顶角又有多少对呢？其实，问题的实质并没有改变，因此对顶角还是n(n-l)对．
读一题，练3题，练就解题高手
2-1.3条直线相交于一点，共可组成 对对顶角． 2-2．（第19届“希望杯”）若在平面内有6条直线，其中任意两条不平行，且任意三条不共点（即不相
交于同一点），则这6条直线将平面分成了 个部分．
2—3．（第十届“希望杯”全国数学邀请赛）给出下列四个命题 (1)如果两个角是对顶角，则这两个角相等；
(2)如果两个角相等，则这两个角是对顶角； (3)如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(4)如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角．其中，正确的命题有( )． A.1个 B 2个 C 3个 D．4个
题3 （第13届“希望杯”全国数学邀请赛）爸爸给女儿圆圆买了一个（圆柱形的）生日蛋糕，圆圆想把蛋糕切成大小不一定相等的若干块（不少于10块），分给10个小朋友，若沿竖直方向切分蛋糕，至少需要切（ ）
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3
A.3刀 B.4刀 C.6刀 D.9刀
本题实质上就是考虑最少几条相交直线将平面分成不少于10个部分．
解 一条直线将平面分成2个部分；两条直线将平面分成3个或4个部分，其中当两直线相交时，分平面所得的部分最多；
三条直线最多将平面分成7个部分，此时三条直线两两相交且交点最多（3个）； 四条直线最多将平面分成11个部分，此时四条直线两两相交且交点最多（6个）． 由此可知，将圆柱形蛋糕切成大小不一定相等的若干块（不少于10块），则沿竖直方向至少需切4刀，如图所示．
故选B．
由本题我们可探究“n条直线最多可将平面分成多少个部分”．
从图(1)到图(2)，我们发现图中多了一个交点，而平面被多分了2个部分，即为2+2=4个部分；从图
(2)到图(3)，我们发现图中多了两个交点，而平面被多分了3个部分，即为2+2+3-7个部分；从图(3)到图(4)，我们发现图中多了三个交点，而平面被多分了4个部分，即2+2+3+4 =11个部分．
于是，我们发现，每多m个交点，则平面被多分出m+l个部分，因此，我们得到：n条直线最多可将平面分成为2?2?3?4???n?1?n(n?1)个部分． 2 读一题，练1题，决出能力高下
3-1．种7棵树，使其中的每3棵树在一直线上，共排成6行（每行只有3棵树）．请你设计种树的位置．
题4 如图，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13,35,49，那么图中阴影部分的面积是
注意到s?BC.E?11s?矩形,s?CDF??S?ADF?s?BCF?S矩形,从而有S?.BCE?S?ADF?S?BCF,进而 22找准求阴影部分面积的切入点．
解 如图，设图中两块三角形的面积分别为x，y，则有(35?x?49)?(13?y)?x?S阴?y?
?S阴?35?49?13?97.
寻求未知区域面积与已知区域面积的关系是解决此类问题的关键．
读一题，练3题，冲刺奥数金牌
4-1.（新加坡竞赛题）如图，AD、BE、CF交于△ABC内一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个
小三角形的面积已在图中给出，求△ABC的面积．
第14讲 相交线-举一反三
