函数解题思路方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
动点问题题型方法归纳总结
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点
5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线y?ax2?bx?3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。 动点个数 问题背景 两个 特殊菱形两边上移动 07 08 一个 特殊直角梯形三边上移动 两个 抛物线中特殊直角梯形底边上移动 09 考查难点 探究相似三角形 探究三角形面积函数关系式 探究等腰三角形 考 点 ①菱形性质 ②特殊角三角函数 ③求直线、抛物线解析式 ④相似三角形 ⑤不等式 ①求直线解析式 ②四边形面积的表示 ③动三角形面积函数④矩形性质 ①求抛物线顶点坐标 ②探究平行四边形 ③探究动三角形面积是定值 ④探究等腰三角形存在性 特 点 ①菱形是含60°的特殊菱形； △AOB是底角为30°的等腰三角形。 ②一个动点速度是参数字母。 ③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。 ④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。 ⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。 ①观察图形构造特征适当割补表示面积 ②动点按到拐点时间分段分类 ③画出矩形必备条件的图形探究其存在性 ①直角梯形是特殊的（一底角是45°） ②点动带动线动 ③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA） ④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。 ⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）
共同点：
①特殊四边形为背景；
②点动带线动得出动三角形；
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式；
⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
二次函数的动态问题（动点）
1.如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(?4，0)，
B(?2，0)，E(0，8)．
（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；
（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，MDNA的面积为S．
点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
[解] （1）点A(?4，0)，点B(?2，0)，点E(0，8)关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，F(0，?8)． 设抛物线C2的解析式是
y?ax2?bx?c(a?0)，
?16a?4b?c?0，?则?4a?2b?c?0， ?c??8．?，?a??1?解得?b?6，
?c??8．?所以所求抛物线的解析式是y??x?6x?8． （2）由（1）可计算得点M(?3，?1)，N(31)，．
过点N作NH?AD，垂足为H．
当运动到时刻t时，AD?2OD?8?2t，NH?1?2t． 根据中心对称的性质OA?OD，OM?ON，所以四边形MDNA是平行四边形． 所以S?2S△ADN．
所以，四边形MDNA的面积S?(8?2t)(1?2t)??4t?14t?8． 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t?4．
所以，所求关系式是S??4t2?14t?8，t的取值范围是0≤t?4． （3）S??4?t?所以t?22??7?81（0≤t?4）． ??，
4?4781时，S有最大值． 44提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．
由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，所以当AD?MN时四边形MDNA是矩形．
2222所以OD?ON．所以OD?ON?OH?NH．
所以t2?4t2?2?0．解之得t1?6?2． ，t2??6?2（舍）所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t?6?2．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。 2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线y??点C(0，3)的直线y??且0?t?1．
（1）确定b，c的值：b?_____，c?_____；
（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）：
32x?bx?c与坐标轴交于A，B，C三点，点A的横坐标为?1，过43x?3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PH?OB于点H．若PB?5t，4tB(___，___)，Q(___，___)，P(___，___)；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
[解] （1）b?y9 4C P A O Q H c?3 （2）B(4，0) Q(4t，0) P(4?4t，3t)
（3）存在t的值，有以下三种情况 ①当PQ?PB时
QPH?OB，则GH?HB ?4?4t?4t?4t ?t?B x 1 3 ②当PB?QB时 得4?4t?5t ?t?4 9 ③当PQ?QB时，如图
解法一：过Q作QD?BP，又PQ?QB
BP5 则BD??t
22 又△BDQ∽△BOC
C P D O Q
B
二次函数动点问题解答方法技巧（含例解答案）
