复习课(二) 直接证明与间接证明
合情推理
(1)近几年的高考中归纳推理和类比推理有时考查，考查的形式以填空题为主，其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力．
(2)处理与归纳推理相关的类型及策略
①与数字有关：观察数字特点，找出等式左右两侧的规律可解． ②与式有关：观察每个式的特点，找到规律后可解．
③进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．
[考点精要] 1．归纳推理的特点及一般步骤
2．类比推理的特点及一般步骤
[典例] (1)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积S11
为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1，
S24
V1
外接球体积为V2，则＝( )
V2
1 B. 91 D. 27
1
A. 8
C.1 64
(2)(陕西高考)观察下列等式：
11 1－＝，
22
1 / 13
11111 1－＋－＝＋，
23434
11111111 1－＋－＋－＝＋＋，
23456456
……，
据此规律，第n个等式可为______________________________________________．
V11
[解析] (1)正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.
V227
1111111
(2)等式的左边的通项为－，前n项和为1－＋－＋…＋－；右边
2n－12n2342n－12n
1111 的每个式子的第一项为，共有n项，故为＋＋…＋.
n＋1n＋1n＋2n＋n11111111
[答案] (1)D (2)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
2342n－12nn＋1n＋22n
[类题通法]
(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事
例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一
点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
[题组训练] 1．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则
预计第10年树的分枝数为( )
B．34 D．55
A．21 C．52
解析：选D 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的
和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.
ACAE
2．在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结
BCBE论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图)，DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E，则得
到类比的结论是________________．
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解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得
AES△ACD ＝.
EBS△BCDAES△ACD
答案：＝
EBS△BCD
演绎推理
(1)演绎推理在高考中不会刻意去考查，但实际上是无处不在，常以数列、不等式、立体几何、解析几何等主干知识为载体进行考查．
(2)解答此类问题，结合已学过的知识和生活中的实例，了解演绎推理的含义、基本方法在证明中的应用是关键．
[考点精要] 演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和 结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确．[典例] 已知f(x)＝－
1?1?4＋，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn?an，－?在an＋1?x2?
曲线y＝f(x)上(n∈N)，且a1＝1，an>0.
(1)求数列{an}的通项公式；
1*
(2)求证：Sn>(4n＋1－1)，n∈N.
2
[解] (1)f(an)＝－
1
＝－an＋1
∴ ∴
1
4＋，且an>0，a2n1
＝an＋1
14＋，a2n
*
11*
－＝4(n∈N)．a2n＋1a2n
?1?1
∴数列??是等差数列，首项＝1，公差d＝4，
n?a21?a2
∴
11
＝1＋4(n－1)，∴a2n＝.a2n4n－3
14n－3
(n∈N)．
*
∵an>0，∴an＝
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(2)证明：∵an＝ ＝
2
14n－3
2
>
24n－34n－3＋4n＋1 ＝
4n＋1－4n－3
，
2
1
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an>[(5－1)＋(9－5)＋…
2
＋(4n＋1－4n－3)]
1
＝(4n＋1－1)．
2
[类题通法]
应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正
确的结论．
常见的解题错误：
(1)条件理解错误(小前提错)； (2)定理引入和应用错误(大前提错)；
(3)推理过程错误等．
[题组训练] 1．已知a＝
5－1x，函数f(x)＝a，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关2
系是 .
解析：当0 a＝5－1?5－1?x∈(0,1)，∴函数f(x)＝??为减函数，故由f(m)>f(n)，得m 答案：m 2．设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值． aex exa 解析：∵f(x)＝＋是R上的偶函数， aexe－xaexa ∴f(－x)＝f(x)，即＋＝＋， ae－xaex 1－xx?1－1?＝0. ∴(e－e)＋a??a?e－xex? x4 / 13 1??1?? ∴?a－??ex－?＝0对一切x∈R恒成立，ex??a?? 12 ∴a－＝0，即a＝1. a 又a>0，∴a＝1. 综合法与分析法 (1)综合法与分析法是高考重点考查内容，一般以某一知识点作为载体，考查由分析法获得解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程． (2)理解综合法与分析法的概念及区别，掌握两种方法的特点，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系，以便熟练运用两种方法解题． [考点精要] 1．综合法：是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果 法． 2．分析法：是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“只需证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证 明的数学问题成立． [典例] 设a>0，b>0，a＋b＝1， 111 求证：＋＋≥8. abab [证明] 法一：综合法 因为a>0，b>0，a＋b＝1， 111 所以1＝a＋b≥2ab，ab≤，ab≤，所以≥4， 24ab 11ba?11? 又＋＝(a＋b)?＋?＝2＋＋≥4， abab?ab? 1111 所以＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)． abab2 法二：分析法 111 因为a>0，b>0，a＋b＝1，要证＋＋≥8. abab ?11?a＋b≥8， 只要证?＋?＋ ?ab?ab?11??11? 只要证?＋?＋?＋?≥8，?ab??ba? 5 / 13
高中数学复习课(二)推理与证明教学案新人教A版选修1-2
