人教a版必修4学案：1.3三角函数的诱导公式(1)(含答案)

1.3 三角函数的诱导公式(一)

自主学习

知识梳理

1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.

相关角 终边之间的对称关系 π＋α与α 关于____对称； －α与α 关于____对称； π－α与α 关于____对称. 2.诱导公式一～四

(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝______，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.

(2)公式二：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝__________，tan(π＋α)＝________. (3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________. (4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝__________. 自主探究

你能否利用π＋α与α终边之间的对称关系，从任意角三角函数的定义出发推导诱导公式二吗？

对点讲练

知识点一 给角求值问题

例1 求下列各三角函数值．

47π

(1)sin(－1 200°)；(2)cos ；(3)tan 945°.

6

回顾归纳 此类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，要记住一些特殊角的三角函数值．

变式训练1 求sin 1 200°·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan(－495°)的值．

知识点二 给值求值问题

sin?3π－α?sin?α－3π?＋cos?π－α?

例2 已知＝2，求的值．

cos?3π－α?sin?－α?－cos?π＋α?

回顾归纳 (1)诱导公式的使用将三角函数式中的角都化为单角．(2)弦切互化是本题的一个重要技巧，值得关注．

π?3－α＝， 变式训练2 已知cos??6?3

5π?π

＋α－sin2?α－?的值． 求cos??6??6?

知识点三 化简三角函数式

sin?－2π－θ?cos?6π－θ?tan?2π－θ?

例3 化简：. cos?θ－π?sin?5π＋θ?

回顾归纳 解答此类题目的关键是正确运用诱导公式，如果含有参数k(k为整数)一般需按k的奇、偶性分类讨论．

sin[?k＋1?π＋θ]·cos[?k＋1?π－θ]

变式训练3 化简：(其中k∈Z)．

sin?kπ－θ?·cos?kπ＋θ?

1．明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0～2π求值 公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 π公式四 将角转化为0～求值 22.诱导公式的记忆 这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.

课时作业

一、选择题 1．sin 585°的值为( )

2233

A．－ B. C．－ D.

2222

sin?nπ＋α?

2．若n为整数，则代数式的化简结果是( )

cos?nπ＋α?

A．tan nα B．－tan nα C．tan α D．－tan α 3．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )

1－k21－k2A. B．－ kkkkC. D．－ 1－k21－k2sin?α－5π?

4．tan(5π＋α)＝m，则的值为( )

cos?π＋α?

A．m B．－m C．－1 D．1

π1

－，0?，则cos(π＋α)的值为( ) 5．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈??2?4

555A. B．－ C．± D．以上都不对 333

二、填空题

π5π2π

－?＋2sin ＋3sin ＝______. 6．sin??3?33

1＋2sin 290°cos 430°

7．代数式的化简结果是________．

sin 250°＋cos 790°

8．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 009)＝1，则f(2 010)＝________.

三、解答题

2

9．若cos(α－π)＝－，

3

sin?α－2π?＋sin?－α－3π?cos?α－3π?求的值． cos?π－α?－cos?－π－α?cos?α－4π?

10．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.

§1.3 三角函数的诱导公式(一)

答案

知识梳理 1.

相关角 π＋α与α －α与α π－α与α 终边之间的对称关系 关于原点对称； 关于x轴对称； 关于y轴对称. 2.(1)sin α cos α tan α (2)－sin α －cos α tan α (3)－sin α cos α －tan α (4)sin α －cos α －tan α 自主探究

解 设P(x，y)为角α终边上任一点， ∵角α与π＋α终边关于原点对称．

∴P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)位于角π＋α的终边上． ∴|OP′|＝|OP|＝x2＋y2＝r. 由任意角三角函数的定义知：

－y

sin(π＋α)＝＝－sin α，

r－x

cos (π＋α)＝＝－cos α，

r－yy

tan(π＋α)＝＝＝tan α.

－xx

借助任意角三角函数的定义同样可以推得公式三、公式四． 对点讲练

例1 解 (1)sin(－1 200°)＝sin(－4×360°＋240°) ＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)

3

＝－sin 60°＝－；

2

47π11π11π

＝cos(＋6π)＝cos 666ππ3

＝cos(2π－)＝cos＝；

662

(3)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225° ＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.

变式训练1 解 原式＝sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)－tan(360°＋135°)

＝sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)－tan(180°－45°) ＝－sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°

3311＝－×＋×＋1

22221＝. 2

sin?3π－α?

例2 解 ∵＝2，

cos?3π－α?

∴tan(3π－α)＝2，∴tan α＝－2. sin?α－3π?＋cos?π－α?∵ sin?－α?－cos?π＋α?

－sin α－cos αsin α＋cos α＝＝ －sin α＋cos αsin α－cos α1＋tan α＝ tan α－1

sin?α－3π?＋cos?π－α?1－21∴＝＝.

sin?－α?－cos?π＋α?－2－13

5π?π＋α－sin2?α－? 变式训练2 解 cos??6??6??5π＋α??－sin2?π－α? ＝－cos?π－??6???6?π?π

－α－sin2?－α? ＝－cos??6??6?33＝－－?1－??2?

3??3??

2＋332

＝－－＝－.

333

－sin?2π＋θ?·cos θ·?－tan θ?

例3 解 原式＝

cos?π－θ?·sin?π＋θ?

sin θ·cos θ·tan θ＝ ?－cos θ?·?－sin θ?sin θ·cos θ·tan θ＝ sin θ·cos θ＝tan θ

变式训练3 解 当k为偶数时， 不妨设k＝2n，n∈Z，则

sin[?2n＋1?π＋θ]·cos[?2n＋1?π－θ]原式＝ sin?2nπ－θ?·cos?2nπ＋θ?

sin?π＋θ?·cos?π－θ?＝ －sin θ·cos θ－sin θ·?－cos θ?＝

－sin θ·cos θ＝－1.

(2)cos