动点问题专题训练
1、如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
A
D Q
B C
P
32、直线y??x?6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点
4Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．
y B （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当S?P 48时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四5x Q O A 边形的第四个顶点M的坐标．
5在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度 向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
B t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； E （4）当DE经过点C 时，请直接．．
写出t的值． Q D A P C 图16
6如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°，?B?60°，BC?2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为?． （1）①当?? 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ； ②当?? 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ； （2）当??90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．?
l
E C
O A D B
C
O
A B （备用图）
7如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B?45?．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．
（1）求BC的长．
A D （2）当MN∥AB时，求t的值．
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形． N
B M C
8如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB?4，BC?6，∠B?60?. （1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP?x.
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.
N
A D A D A D
N
E F E P F E P F
B C B C B M
M C
图1 图2 图3
A D （第8题） A D
E
F E F B
B C C
图4（备用） 图5（备用）
9如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正
方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； (2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．?AEF?90o，且EF交正方形外角?DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE?EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A DF A D A D
F F
B E C G B E C G B C E G
图1 图2 图3
11已知一个直角三角形纸片OAB，其中?AOB?90°，OA?2，OB?4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； y
B
O A x
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，设OB??x，OC?y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
y B
O A x
（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，且使B?D∥OB，求此时点C的坐标．
y B
O A x
12问题解决
如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后
得到折痕MN．当CECD?12时，求AMBN的值．
F A M D
方法指导： 为了求得AM的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2 E
BN B N C 图（1） 类比归纳
在图（1）中，若CECD?13，则AMBN的值等于 ；若CECD?14，则AMBN的值等于 ；若CECD?1n（n为整数），则AMBN的值等于 ．（用含n的式子表示） 联系拓广 如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，AB1CE1AM设则的值等于 ．（用含m，n的式子表示） ??m?1?，?，∴点P，点Q运动的时间t?∴vQ?BP4?秒， 33CQ515··················（7分） ??厘米/秒．
BCmCDnBN
F A M
B N
图（2）
参考答案
1.解：（1）①∵t?1秒， ∴BP?CQ?3?1?3厘米，
∵AB?10厘米，点D为AB的中点， ∴BD?5厘米．
又∵PC?BC?BP，BC?8厘米， ∴PC?8?3?5厘米， ∴PC?BD． 又∵AB?AC， ∴?B??C，
∴△BPD≌△CQP． ·····················②∵vP?vQ， ∴BP?CQ，
又∵△BPD≌△CQP，?B??C，则BP?PC?4，CQ?BD?5，
D
E
C 4分） t443（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得154x?3x?2?10， 解得x?803秒． ∴点P共运动了803?3?80厘米．
∵80?2?28?24，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过
803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇． ········· （12分） 2.解（1）A（8，0）B（0，6） · 1分 （2）QOA?8，OB?6 ?AB?10
Q点Q由O到A的时间是81?8（秒）
?点P的速度是6?108?2（单位/秒）1分
当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ?t，OP?2t
S?t2 ······························1分
当P在线段BA上运动（或3?t≤8）时，OQ?t，AP?6?10?2t?16?2t, 如图，作PD?OA于点D，由
PDBO?APAB，得PD?48?6t5， ·······1分 ?S?12OQ?PD??35t2?245t ····················1分
（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
（3）P??824??5，5?? ··························1分
I??824??55??，M?1224??1224?1?，2???5，5??，M3??5，?5?? ···············3分
3.解：（1）⊙P与x轴相切.
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），
与y轴交于B（0，－8）， ∴OA=4，OB=8. 由题意，OP=－k， ∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，
（∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径， ∴⊙P与x轴相切.
2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当
圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形，∴DE=1CD=322，PD=3， ∴PE=332. ∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE， ∴△AOB∽△PEB， 33∴
AOAB?PEPB,即445=2PB， ∴PB?3152, ∴PO?BO?PB?8?3152， ∴P(0,3152?8)， ∴k?3152?8. 当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－3152－8)， ∴k=－3152－8， ∴当k=3152－8或k=－3152－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.
4.
5.解：（1）1，85；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴AP?3?t． 由△AQF∽△ABC，BC?52?32?4， 得
QF4?t5．∴QF?45t． ∴S?1(3?t)?425t，
B E （
初三数学几何的动点问题专题练习及答案
