动点问题专题训练
1、如图,已知△ABC中,AB?AC?10厘米,BC?8厘米,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由; ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等? (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
A
D Q
B C
P
32、直线y??x?6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O点出发,同时到达A点,运动停止.点
4Q沿线段OA 运动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线O→B→A运动.
y B (2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?
4 如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4), 点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H. (1)求直线AC的解析式;
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)设点Q的运动时间为t秒,△OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式; (3)当S?P 48时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四5x Q O A 边形的第四个顶点M的坐标.
5在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度 向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点3如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.
(1)连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;
(1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ; (2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与
B t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成
为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由; E (4)当DE经过点C 时,请直接..
写出t的值. Q D A P C 图16
6如图,在Rt△ABC中,?ACB?90°,?B?60°,BC?2.点O是AC的中点,过点O的直线l从与AC重合的位置开始,绕点O作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E,设直线l的旋转角为?. (1)①当?? 度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为 ; ②当?? 度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为 ; (2)当??90°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.?
l
E C
O A D B
C
O
A B (备用图)
7如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD?3,DC?5,AB?42,∠B?45?.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.
(1)求BC的长.
A D (2)当MN∥AB时,求t的值.
(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形. N
B M C
8如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F.AB?4,BC?6,∠B?60?. (1)求点E到BC的距离;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PM?EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连结PN,设EP?x.
①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;
②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.
N
A D A D A D
N
E F E P F E P F
B C B C B M
M C
图1 图2 图3
A D (第8题) A D
E
F E F B
B C C
图4(备用) 图5(备用)
9如图①,正方形 ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正
方形 ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度; (2)求正方形边长及顶点C的坐标;
(3)在(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标; (4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.
10数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.?AEF?90o,且EF交正方形外角?DCG的平行线CF于点F,求证:AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE?EF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
A DF A D A D
F F
B E C G B E C G B C E G
图1 图2 图3
11已知一个直角三角形纸片OAB,其中?AOB?90°,OA?2,OB?4.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D. (Ⅰ)若折叠后使点B与点A重合,求点C的坐标; y
B
O A x
(Ⅱ)若折叠后点B落在边OA上的点为B?,设OB??x,OC?y,试写出y关于x的函数解析式,并确定y的取值范围;
y B
O A x
(Ⅲ)若折叠后点B落在边OA上的点为B?,且使B?D∥OB,求此时点C的坐标.
y B
O A x
12问题解决
如图(1),将正方形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),压平后
得到折痕MN.当CECD?12时,求AMBN的值.
F A M D
方法指导: 为了求得AM的值,可先求BN、AM的长,不妨设:AB=2 E
BN B N C 图(1) 类比归纳
在图(1)中,若CECD?13,则AMBN的值等于 ;若CECD?14,则AMBN的值等于 ;若CECD?1n(n为整数),则AMBN的值等于 .(用含n的式子表示) 联系拓广 如图(2),将矩形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),压平后得到折痕MN,AB1CE1AM设则的值等于 .(用含m,n的式子表示) ??m?1?,?,∴点P,点Q运动的时间t?∴vQ?BP4?秒, 33CQ515··················(7分) ??厘米/秒.
BCmCDnBN
F A M
B N
图(2)
参考答案
1.解:(1)①∵t?1秒, ∴BP?CQ?3?1?3厘米,
∵AB?10厘米,点D为AB的中点, ∴BD?5厘米.
又∵PC?BC?BP,BC?8厘米, ∴PC?8?3?5厘米, ∴PC?BD. 又∵AB?AC, ∴?B??C,
∴△BPD≌△CQP. ·····················②∵vP?vQ, ∴BP?CQ,
又∵△BPD≌△CQP,?B??C,则BP?PC?4,CQ?BD?5,
D
E
C 4分) t443(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇, 由题意,得154x?3x?2?10, 解得x?803秒. ∴点P共运动了803?3?80厘米.
∵80?2?28?24,
∴点P、点Q在AB边上相遇,
∴经过
803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇. ········· (12分) 2.解(1)A(8,0)B(0,6) · 1分 (2)QOA?8,OB?6 ?AB?10
Q点Q由O到A的时间是81?8(秒)
?点P的速度是6?108?2(单位/秒)1分
当P在线段OB上运动(或0≤t≤3)时,OQ?t,OP?2t
S?t2 ······························1分
当P在线段BA上运动(或3?t≤8)时,OQ?t,AP?6?10?2t?16?2t, 如图,作PD?OA于点D,由
PDBO?APAB,得PD?48?6t5, ·······1分 ?S?12OQ?PD??35t2?245t ····················1分
(自变量取值范围写对给1分,否则不给分.)
(3)P??824??5,5?? ··························1分
I??824??55??,M?1224??1224?1?,2???5,5??,M3??5,?5?? ···············3分
3.解:(1)⊙P与x轴相切.
∵直线y=-2x-8与x轴交于A(4,0),
与y轴交于B(0,-8), ∴OA=4,OB=8. 由题意,OP=-k, ∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2,
(∴k=-3,∴OP等于⊙P的半径, ∴⊙P与x轴相切.
2)设⊙P与直线l交于C,D两点,连结PC,PD当
圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形,∴DE=1CD=322,PD=3, ∴PE=332. ∵∠AOB=∠PEB=90°, ∠ABO=∠PBE, ∴△AOB∽△PEB, 33∴
AOAB?PEPB,即445=2PB, ∴PB?3152, ∴PO?BO?PB?8?3152, ∴P(0,3152?8), ∴k?3152?8. 当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,-3152-8), ∴k=-3152-8, ∴当k=3152-8或k=-3152-8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.
4.
5.解:(1)1,85;
(2)作QF⊥AC于点F,如图3, AQ = CP= t,∴AP?3?t. 由△AQF∽△ABC,BC?52?32?4, 得
QF4?t5.∴QF?45t. ∴S?1(3?t)?425t,
B E (
初三数学几何的动点问题专题练习及答案
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