通过数值计算方法，在计算机上对偏微分方程的近似求解。科学和工程中的大多数实际问题都归结为偏微分方程的定解问题，由于很难求得这些定解问题的解析解（在经典意义下甚至没有解），人们转向求解它们的数值近似解。通常先对问题的求解区域进行网格剖分，然后基于有限元法、有限差分法和有限体积法等数值方法，对原定解问题或其等价形式离散，并归结为一个线性代数方程组，最终在计算机上求得精确解在离散网格点上的近似值。求解涉及数值方法及其理论分析（稳定性、收敛性、误差估计）、计算机上的实现等一系列问题。 目录
第1章 椭圆型偏微分方程的差分方法 1.1 引言
1.2 模型问题的差分逼近 1.3 一般问题的差分逼近 1.3.1 网格、网格函数及其范数 1.3.2 差分格式的构造
1.3.3 截断误差、相容性、稳定性与收敛性 1.3.4 边界条件的处理
1.4 基于最大值原理的误差分析
1.4.1 最大值原理与差分方程解的存在唯一性 1.4.2 比较定理与差分方程的稳定性和误差估计 1.5 渐近误差分析与外推 1.6 补充与注记
习题1
第2章 抛物型偏微分方程的差分方法 2.1 引言
2.2 模型问题及其差分逼近
2.2.1 模型问题的显式格式及其稳定性和收敛性 2.2.2 模型问题的隐式格式及其稳定性和收敛性 2.3 一维抛物型偏微分方程的差分逼近 2.3.1 直接差分离散化方法 2.3.2 基于半离散化方法的差分格式 2.3.3 一般边界条件的处理 2.3.4 耗散与守恒性质
2.4 高维抛物型偏微分方程的差分逼近 2.4.1 高维盒形区域上的显式格式和隐式格式 2.4.2 二维和三维交替方向隐式格式及局部一维格式 2.4.3 更一般的高维抛物型问题的差分逼近 2.5 补充与注记 习题2
第3章 双曲型偏微分方程的差分方法 3.1 引言
3.2 一维一阶线性双曲型偏微分方程的差分方法 3.2.1 特征线与CFL条件 3.2.2 迎风格式
3.2.3 15ax-Wendroff格式和Beam-Warming格式 3.2.4 ：蛙跳格式
3.2.5 差分格式的耗散与色散 3.2.6 初边值问题与边界条件的处理 3.3 一阶双曲守恒律方程与守恒型格式 3.3.1 有限体积格式
3.3.2 初始条件与边界条件的处理 3.4 对流扩散方程的差分方法
3.4.1 对流扩散方程的中心显式格式与修正中心显式格式 3.4.2 对流扩散方程的迎风格式 3.4.3 对流扩散方程的隐式格式 3.4.4 对流扩散方程的特征差分格式 3.5 波动方程的差分方法 3.5.1 波动方程的显式格式 3.5.2 波动方程的隐式格式
3.5.3 变系数波动方程隐式格式的能量不等式和稳定性 3.5.4 基于等价一阶方程组的差分格式 3.5.5 交错型蛙跳格式与局部能量守恒性质 3.6 补充与注记 习题3
第4章 再论差分方程的相容性、稳定性与收敛性 4.1 发展方程初边值问题及其差分逼近
4.2 截断误差与逼近精度的阶，相容性与收敛性 4.3 稳定性与Lax等价定理
4.4 稳定性的von Neumann条件和强稳定性 4.5 修正方程分析 4.6 能量分析方法
第5章 椭圆边值问题的变分形式 5.1 抽象变分问题 5.1.1 抽象变分问题 5.1.2 Lax-Milgram引理 5.2 变分形式与弱解 5.2.1 椭圆边值问题的例子 5.2.2 Sobolev空间初步
5.2.3 椭圆边值问题的变分形式与弱解 5.3 补充与注记 习题5
第6章 椭圆边值问题的有限元方法 6.1 Galerkin方法与Ritz方法 6.2 有限元方法
6.2.1 有限元方法的一个典型例子 6.2.2 有限元的一般定义 6.2.3 有限元与有限元空间的例子 6.2.4 有限元方程与有限元解
6.3 补充与注记 习题6
第7章 椭圆边值问题有限元解的误差估计 7.1 Cea引理与有限元解的抽象误差估计 7.2 Sobolev空间插值理论
7.2.1 Sobolev空间的多项式商空间与等价商范数 7.2.2 仿射等价开集上Sobolev半范数的关系 7.2.3 多项式不变算子的误差估计 7.2.4 有限元函数的反估计
7.3 多角形区域上二阶问题有限元解的误差估计 7.3.1 H1范数意义下的误差估计
7.3.2 Aubin—Nische技巧与L2范数意义下的误差估计 7.4 非协调性与相容性误差 7.4.1 第一和第二：Strang引理
7.4.2 Bramble-Hilbert，引理和双线性引理 7.4.3 数值积分引起的相容性误差 7.5 补充与注记 习题7
第8章 有限元解的误差控制与自适应方法 8.1 有限元解的后验误差估计 8.2 后验误差估计子的可靠性与有效性 8.3 自适应方法
偏微分方程数值解
