第3讲 变量间的相关关系、统计案例
[基础题组练]
1．根据如下样本数据：
x y 3 4.0 4 2.5 5 0.5 6 0.5 7 0.4 8 0.1 得到的线性回归方程为y＝bx＋a，则( ) A.a>0，b>0 B．a>0，b<0 C.a<0，b>0
D．a<0，b<0
解析：选B.根据给出的数据可发现：整体上y与x呈现负相关，所以b<0，由样本点(3，4.0)及(4，2.5)可知a>0，故选B.
2．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)1
的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数
2据的样本相关系数为( )
A．－1 1C. 2
B．0 D．1
解析：选D.所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D.
3．(2024·山东德州模拟)已知某产品连续4个月的广告费xi(千元)与销售额yi(万元)(i4
4
＝1，2，3，4)满足? xi＝15, ? yi＝12.若广告费用x和销售额y之间具有线性相关关系，
i＝1
i＝1
且回归直线方程为y＝bx＋a，b＝0.6，当广告费用为5千元时，可预测销售额为（ ）, A.3万元 C.3.5万元
4
4
B.3.15万元 D.3.75万元, 1512
＝3.75，y＝＝3，所以3＝3.75×0.644
解析：选D.由已知∑xi＝15，∑y i＝12，得x＝i＝1i＝1
＋a，解得a＝0.75.所以回归直线方程为y＝0.6x＋0.75.则当x＝5时，y＝3.75万元．故选D.
4．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计
年份(届) 2014 2015 2016 2017 学科竞赛获省级一等奖 及以上的学生人数x 被清华、北大等世界名校录取的学生人数y 51 49 55 57 103 96 108 107 根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为1.35，该校2024届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上的学生人数为63，据此模型预测该校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为( )
A．111 C．118
B．117 D．123
^
解析：选B.因为x＝53，y＝103.5，所以a＝y－bx＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回归直线方程为y＝1.35x＋31.95.当x＝63时，代入解得y＝117，故选B.
5．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．
愿生 不愿生 总计 2
非一线 45 13 58 一线 20 22 42 总计 65 35 100 n（ad－bc）2由χ＝，
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
100×（45×22－20×13）
得χ＝≈9.616.
65×35×58×42
2
2
参照下表，
P(χ2≥k0) k0 下列结论正确的是( ) 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
解析：选C.因为K≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.
6．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为y＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为
2
5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为________．
解析：因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程y＝0.6x＋1.2，该城市居民人均工资为x＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估4.2
计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为＝84%.
5
答案：84%
7．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：
学生编号 数学成绩 物理成绩 给出散点图如下： 1 60 72 2 65 77 3 70 80 4 75 84 5 80 88 6 85 90 7 90 93 8 95 95
根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．
其中正确的个数为________．
解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学的数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.
答案：1
8．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，
666
12
yi)(i＝1，2，…，6)都在曲线y＝bx－附近波动．经计算∑xi＝11，∑yi＝13，∑xi＝21，i＝1i＝1i＝13
2
则实数b的值为________．
6
∑xi1i＝12
解析：令t＝x，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y＝bt－，此时t＝
36
2
6
∑yi137113715i＝1
＝，y＝＝，代入y＝bt－，得＝b×－，解得b＝. 26636237
5答案： 7
9．(2024·云南昆明诊断)某公司准备派出选手代表公司参加某职业技能挑战赛．经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好．已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间t(单位：秒)及挑战失败(用“×”表示)的情况如表1：
序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 t甲 t乙 × 96 93 × 92 × 90 86 × × 83 80 78 77 75 × 95 × 93 × 92 × 88 83 × 82 80 80 74 73 据表1中的数据，应用统计软件得表2： 甲 乙 均值(单位：秒) 85 84 方差 50.2 54 线性回归方程 t甲＝－1.59x＋99.31 t乙＝－1.73x＋100.26 (1)根据上述回归方程，预测甲、乙分别在下一次完成该项关键技能挑战所用的时间； (2)若该公司只有一个参赛名额，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由．
解：(1)当x＝16时，t甲＝－1.59×16＋99.31＝73.87(秒)，
t乙＝－1.73×16＋100.26＝72.58(秒)．
(2)甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为10次，失败次数都为5次，所以，只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可，根据所给信息，结合(1)中预测结果，综合分析，选手乙代表公司参加技能挑战赛更合适，理由如下：
因为在相同次数的挑战练习中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，x甲>x乙，乙选手用时更短；
由于S甲 从(1)的计算结果t乙 2 2 图1：设备改造前的样本的频率分布直方图 表1：设备改造后的样本的频数分布表 质量指标值 [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) [40，45] 频数 4 36 96 28 32 4 (1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关． 合格品 不合格品 合计 设备改造前 设备改造后 合计 (2)根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较． 附 P(χ2≥k) k 2 0.150 2.072 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 n（ad－bc）2χ＝，其中n＝a＋b＋c＋d. （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） 解：(1)根据题意填写2×2列联表 合格品 不合格品 合计 设备改造前 172 28 200 2设备改造后 192 8 200 合计 364 36 400 400×（172×8－192×28）χ＝≈12.210>6.635， 364×36×200×200 2
2024版高考数学第十一章统计与统计案例第3讲变量间的相关关系、统计案例练习理北师大版
