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第二章 矩阵
§2.1 矩阵的概念及其线性运算
学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念
矩阵是一张简化了的表格,一般地
?a11a12?a1n???aa?a?21222n? ?????????a??m1am2?amn?称为m?n矩阵,它有m行、n列，共m?n个元素，其中第i行、第j列的元素
用aij表示。通常我们用大写黑体字母A、B、C……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m和列数n,可用Am?n或aij??m?n表示。矩阵既然是一张表，就不能象行
列式那样算出一个数来。
所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O。
两个矩阵A、B相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作A?B。
如果矩阵A的行、列数都是n，则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵。n阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n阶矩阵A的元素按原次序构成的n阶行列式，称为矩阵A的行列式，记作A。
在n阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E，即
?1??0E?????0?01?0????0??0? ???1??1?n矩阵（只有一行）又称为n维行向量；n?1矩阵（只有一列）又称为n维列
向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a，b，x，y……表示。向量中的元素又称为向量的分量。1?1矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即?a??a。
二．矩阵的加、减运算
如果矩阵A、B的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为A?B、A?B。分别称为矩阵A、B的和与差。A?B表示将A、B中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如
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??123??432??? ， A??B??03?2??5?30??
????2?33?2??355???1?4A?B???0?53?(?3)?2?0?????50?2??
????2?33?2???5?11???1?4A?B???0?53?(?3)?2?0??????56?2??
????
三．矩阵的数乘
矩阵A与数k相乘记为kA或Ak。kA表示将k乘A中的所有元素得到的矩阵。例如
?24??3?23?4??612???????A??30? ，3A??3?33?0???90?
?51??3?53?1??153???????当k??1时，我们简记(?1)A??A，称为A的负矩阵。
矩阵的加减与数乘统称为线性运算。不难验证线性运算满足交换律、结合律与分配律，这与数量的运算规律相同，所以在数量运算中形成的诸如提取公因子、合并同类项、移项变号、正负抵消等运算习惯，在矩阵的线性运算中都可以保留、沿用。
?3?120??75?24?????例2.1 设A??1579?，B??5197?，已知
?2468??32?16?????A?2X?B，求X。
解 在等式中移项得 2X?B?A，再除以2得 X?算立得
1(B?A)。通过心23?22??2??X??2?21?1?
?12?1?72?1???例2.2 设A为三阶矩阵。已知A??2，求行列式3A的值。
?a1?解 设A??b1?c?1a2b2c2a3??3a1??b3?，则3A??3b1?3cc3???13a23b23c23a3??3b3?。 3c3??显然行列式3A中每行都有公因子3，因此
a13A?33b1c1精品文档
a2b2c2a3b3?27A??54。 c3
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§2.2 矩阵的乘法与转置
一．矩阵的乘法
如果矩阵A的列数与矩阵B的行数相同，即A是m?s矩阵，B是s?n矩阵，那么A、B可以相乘，记为AB或A?B，称为矩阵A、B的乘积。AB?C表示一个m?n矩阵，矩阵C的构成规则如下：
B的第1列元素依次与A的各行元素相组合，形成C的第1列元素；B的第2列元素依次与A的各行元素相组合，形成C的第2列元素；……以此类推，最后B的第n列元素依次与A的各行元素相组合，形成C的第n列元素。这里
的“组合”表示两两相乘再相加。
若记A?aij??m?s，B?bij??s?n，C?cij??m?n，且C?AB，则乘积矩阵C的元素可用公式表示为
cij??aikbkj （i=1，2，…，m；j=1，2，…，n） （2.1）
k?1s?3?1???03???1?23???例如 ? ???14?210????21????3?1?(?1)?23?(?2)?(?1)?13?3?(?1)?0??1?7???0?1?3?20?(?2)?3?10?3?3?0???63???1?1?4?21?(?2)?4?11?3?4?0??92????2?1?1?2?2?(?2)?1?12?3?1?0????4?3利用矩阵的乘法可以简化线性方程组的表示形式。设
9??0? 3??6???a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 （2.2） ????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm是含有m个方程、n个变量的线性方程组，若记
?a11??aA??21???a?m1a12a22????a1n??b1??x1??????a2n??b2??x2?b? ， ，x???? ???????????b????amn??m??xn?am2?则方程组可表示为矩阵方程
Ax?b （2.3）
这个矩阵方程两端都是m?1矩阵，因此相当于m个等式，恰好是（2.2）
式的m个方程。（2.3）式称为线性方程组（2.2）的矩阵形式。以后，矩阵形式（2.3）将成为我们表示线性方程组的主要形式。其中A称为线性方程组的系数矩阵，x称为变量列，b称为常数列。 精品文档
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二．矩阵乘法的性质
两个矩阵相乘要求行、列数相匹配，即在乘积AB中，矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数，因此当AB有意义时，BA未必有意义。即使AB和BA都有意义，它们也可能表示不同阶数的矩阵。比如A是1?n矩阵（行向量），B是n?1矩阵（列向量）时，AB是1?1矩阵而BA为n?n矩阵。当A、B都是n阶方阵时，情况又怎样呢？
例2.3 设A???
4???24??2?88??????，，，求AB、B?C???????1?2???3?6??0?4?BA、AC。
解 利用乘积的构成规则容易得到
4???16?32???24??2??? AB???1?2???3?6?????8?16??????4???24??00??2BA????3?6????1?2?????00??
????????24??88???16?32?? AC???1?2????0?4?????8?16??????从例2.3可以看到矩阵乘法的两个重要特点：
（1）矩阵乘法不满足交换律。即一般情况下AB?BA。
（2）矩阵乘法不满足消去律。即从A?O和AB?AC不能推得B?C。特别地，当BA?O时，不能断定A?O或者B?O。
这两个特点与数量乘法的规律不同，所以在数量运算中形成的交换与消去习惯必须改变。矩阵相乘时要注意顺序，有左乘、右乘之分。不过，矩阵的自乘无需区别左乘右乘，因此，可以引入矩阵乘幂的记号，比如
A?A?A?A3
这里A是n阶方阵。方阵的乘幂显然有下列性质
A?A?A ， (A)?A
其中k、l是自然数。但是因为A、B的乘积不能交换顺序，所以
klk?lklkl(AB)2?(AB)(AB)?(AA)(BB)?A2B2
kkk一般情况下，当k?2时，(AB)?AB。这与数量的乘幂运算规则大不相同。
??32?1???2例2.4 设A??030?，求P(A)?2A?3A?4E。
?14?2?????32?1???32?1?????解 P(A)?2?030??030??3A?4E
?14?2??14?2??????8?45???32?1??100??29?1413??????????2?090??3?030??4?010???0130? ??563??14?2??001???13016?????????精品文档
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2本例中，P(A)与多项式P(x)?2x?3x?4有类似的形式，因此称它为矩 阵多项式。一般地，如果一个矩阵式的每一项都是带系数的同一方阵A的非负整 数幂，“常数项”（零次幂项）是带系数的单位矩阵，那么称这个矩阵式为关于A
的矩阵多项式。
如果矩阵A、B满足AB?BA，那么称A、B是可交换的。可交换是个
很强的条件，下面介绍两种特殊情况。
一种是对角矩阵。容易验证
0L0??a10L0??b10L0??a1b1 ??????0aL00bL00abL02222??????? （2.4） ?LLLL??LLLL??L?LLL ??????0Lanbn? ?00Lan??00Lbn??0交换乘积的顺序，结果显然相同。由此可知：两个同阶对角矩阵是可交换的，它
们的乘积矩阵由对应位置元素的乘积构成。
另一种是单位矩阵。设A?aij,Em、En分别为m阶、n阶单位矩阵，
m?n
不难验证EmA?A，AEn?A。特别地，当m?n时
EA?AE?A （2.5）
可见单位矩阵E在矩阵乘法中与数1在数量乘法中有类似的作用。单位矩阵与任
何同阶矩阵可交换。
矩阵的乘法虽然不满足交换律，但仍满足下列运算规律（假设运算都是可行
的）：
（1）乘法结合律：(AB)C?A(BC)
（2）左、右分配律：(A?B)C?AC?BC，C(A?B)?CA?CB （3）数乘结合律：k(AB)?(kA)B?A(kB) 这些运算律的证明，都可以利用乘法公式（2.1）以及通过和式的乘积展开与
重组来完成，此处从略。这些运算律与数量的运算规律相同，所以在数量运算中
形成的诸如多项乘积展开、系数归并化简、因式分解、连乘重组等运算习惯，在
矩阵的运算中，仍可保留沿用，当然应该特别注意不可随意交换乘法顺序，不可
随意约简非零因子。
三．矩阵的转置
T把矩阵A的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记为A，即
?a11a12?a1n??a11a21?am1? ???? ?a21a22?a2n??a12a22?am2?T ，A?? A?? ?????????????? ?a????m1am2?amn??a1na2n?amn?
矩阵的转置方法与行列式相类似，但是矩阵转置后，行、列数都变了，各元素的
T位置也变了，所以通常A?A。
转置矩阵有如下性质（其中A、B是矩阵，k是数）：
TTTTT（1）(A)?A （2）(A?B)?A?B
TTTTT（3）(kA)?kA （4）(AB)?BA 这里性质（1）~（3）是显然的，性质（4）可利用乘法公式（2.1）证明。
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矩阵的概念及其线性运算知识讲解
