一 二维形式的柯西不等式
学习标
目 1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、
向量形式和三角形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值.
知识点一 二维形式的柯西不等式
1.定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
2.二维形式的柯西不等式的推论：
a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)； a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R). 知识点二 柯西不等式的向量形式
定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.
知识点三 二维形式的三角不等式
22222
1.定理3：x21＋y1＋x2＋y2≥?x1－x2?＋?y1－y2?(x1，y1，x2，y2∈R).
在平面直角坐标系中，设点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，根据△OP1P2的边长关系有|OP1|＋|OP2|≥|P1P2|，当且仅当点P1，P2与原点O在同一直线上，并且点P1，P2在原点O两旁时，等号成立.
2.推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有 ?x1－x3?2＋?y1－y3?2＋?x2－x3?2＋?y2－y3?2 ≥?x1－x2?2＋?y1－y2?2.
事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3在同一直线上，并且点P1，P2在P3点的两旁时，等号成立.
一、利用柯西不等式证明不等式
?a1＋a2?≥(a1＋a2)2. 例1 已知a1，a2，b1，b2∈R＋，求证：(a1b1＋a2b2)·?bb?
1
2
证明 ∵a1，a2，b1，b2∈R＋， a1a2?∴(a1b1＋a2b2)??b＋b?
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2
??＝[?a1b1?2＋?a2b2?2]·
??
≥?a1b1·a1?2?
＋b1??a2?2?
b2??
?
a1a2?2
＋a2b2·b1b2?
＝(a1＋a2)2.
a1a2?2
∴(a1b1＋a2b2)??b＋b?≥(a1＋a2).
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2
反思感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用
2024届高中数学分册同步讲义(选修4-5) 第3讲 一 二维形式的柯西不等式
