2014中考数学试题分类汇编——二次函数压轴题
1. 【试题】（20XX年湖北孝感第25题）如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y?x?4x?3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上． （1）请直接写出下列各点的坐标：
2A ☆ ，B ☆ ，C ☆ ，D ☆ ；
（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2．
①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；
②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值．
【解答】
（1）A（0，3），B（4，3），C（4，－1），D（0，－1）．
（2）①设直线BD的解析式为y?kx?b(k?0)，由于直线BD经过D（0，－1），B（4，3），
??1?b?k?1∴?，解得?，∴直线BD的解析式为y?x?1．
3?4k?bb??1??
设点P的坐标为(x,x2?4x?3)，则点H(x,x?1)，点G(x,3)．
1°当x?1且x≠4时，点G在PH的延长线上，如图①．
∵PH＝2GH，∴(x?1)?(x2?4x?3)?2?3?(x?1)?， ∴x2?7x?12?0，解得x1?3，x2?4． 当x2?4时，点P，H，G重合于点B，舍去． ∴x?3．∴此时点P的坐标为(3,0)．
2°当0?x?1时，点G在PH的反向延长线上，如图②,PH＝2GH不成立． 3°当x?0时，点G在线段PH上，如图③．
∵PH＝2GH，∴(x2?4x?3)?(x?1)?2?3?(x?1)?， ∴x2?3x?4?0，解得x1??1，x2?4（舍去）， ∴x??1．此时点P的坐标为(?1,8)．
综上所述可知，点P的坐标为(3,0)或(?1,8)．
②如图④，令x2?4x?3?0，得x1?1，x2?3，∴E(1,0)，F(3,0)，∴E F＝2． ∴s?AEF?1EFOA?3． 22s?PH?∵?KPH∽?AEF，∴?KPH??，
s?AEF?EF??33PH2?(?x2?5x?4)2 ． 44∵1?x?4,
∴s?KPH?∴当x?5243时，s?KPH的最大值为 ． 264x轴、y轴分别交
2. 【试题】（20XX年湖南益阳市第20题）如图，直线y??3x?3与
于点A、B，抛物线y?a(x?2)2?k经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P． （1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使?ABQ是以AB
为底边的等腰三角形，求Q点的坐标． （3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以
A,C,M,N为顶点的四边形为正方形，求此正方形
的边长．
【解答】
(1)∵直线y??3x?3与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴A(1,0)，B(0,3).
又抛物线y?a(x?2)2?k经过点A(1,0)，B(0,3)， ?a?k?0,?a?1,∴?解得? 即a，k的值分别为1，?1.
4a?k?3;k??1.??（2）设Q点的坐标为(2,m)，对称轴x?2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x?2 于点E.
在Rt?AQF中，AQ2?AF2?QF2?1?m2， 在Rt?BQE中，BQ2?BE2?EQ2?4?(3?m)2. ∵AQ?BQ，∴1?m2?4?(3?m)2，∴m?2. ∴Q点的坐标为(2,2).
（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直.所以AC应为正方形的对角线.
又对称轴x?2是AC的中垂线，所以，M点与顶点P(2,?1)重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为(2,1).
此时，MF?NF?AF?CF?1，且AC?MN，∴ 四边形AMCN为正方形. 在Rt?AFN中，AN?AF2?NF2?2，即正方形的边长为2.
B E Q 1 N y
323
3. 【试题】（20XX年广东梅州市第23题）已知抛物线y= x－ x－3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y84轴的交点为C。
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标； （3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 【解答】
（1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3)
3
（2）连接AC，与抛物线的对称轴交点M即为所求，直线AC的解析式y=x－3，
4
－2+4399
对称轴是直线x==1，把x=1代入y=x－3得y=－ `∴M(1，－ )
2444
3
（3）如下图，当点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(－2，0)；直线AB的解析式为y=x－6，过点C2作CP1//AB，与抛物线交于点P1，
3323
直线CP1的解析式为y=x－3，联立y= x－ x－3，可得P1(6，6)
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4. 【试题】（20XX年山东泰安市第29题）二次函数y=ax+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标． 【解答】
（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），
2
根据题意得：，解得：，
则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；
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