初中数学竞赛辅导资料(55)
未知数比方程个数多的方程组解法
甲内容提要
在一般情况下，解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组，所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数.
解这类方程或方程组，一般有两种情况：
一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几个未知数的和(积)等，无需求出所有的解； 二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数. 例如，利用取值范围，非负数的性质等. 乙例题
例1. 在实数范围内，解下列方程或方程组：
x2?1?1?x2?2?y?0； ②x2+xy+y2－3x－3y+3=0； ①
x?1?x?y?z?2③? 2?2xy?z?4解：① 根据在实数范围内，二次根式被开方数是非负数，分母不等于零.
?x2?1?0?2得不等式组 ?1?x?0
?x?1?0?解得
x2=1
?x??1而x≠1, ∴?
y??2?② 整理为关于x的二次方程，利用方程有实数根，则判别式 △≥0.
x2+(y－3)x+(y2－3y+3)=0. ∵x是实数， ∴△≥0.
即( y－3)2－4(y2－3y+3)≥0 . 解得 (y－1)2≤0 .
而(y－1)2≥0. ∴y=1.
∴??x?1是原方程的解. ?y?1③消去一元后，利用实数平方是非负数性质. 由①得z=2－x－y .
代入②得2xy－(2－x－y)2－4=0.
整理配方，得(x－2)2+(y－2)2=0.
∵相加得0的两个数，只有是互为相反数. 而 x, y 是实数，
∴(x－2)2≥0，(y－2)2≥0.
∴满足等式的条件只能是：??x?2?0.
?y?2?0?x?2?∴方程组的解是 ?y?2
?z??2?本题在消去z后，也可以仿②，写成关于 x的二次方程，用判别式求解.
例2. 一个自然数除以4余1，除以5余2，除以11余4，求适合条件的最小自然数.
分析：本题有多种解法：①交集法， ②设三元，消去一元，用二元一次方程求整数解，
③设二元，求二元一次方程的整数解.
解法一：除以4余1的自然数集合：{1，5，9，13，17，21，…37…}；
除以5余2的自然数集合：{2，7，12，17，…37…}； 除以11余4的自然数集合：{4，15，26，37，…}. 三个集合的公共元素中最小的自然数是37.
解法二：设所求的自然数 为4a+1或5b+2 或11c+4 (a,b,c都是自然数). 得方程组 ?由(1)得 a= 设
?4a?1?5b?2(1)
?4a?1?11c?4(2)5b?1b?1. ?b?44b?1?k (k为正整数)， 那么 b=4k－1， a=5k－1. 44a?34(5k?1)?320k?79k?7由(2)得 c=. ???k?111111119k?7要使为整数，k取最小正整数2.
11这时c=3 (也可求得b=7, a=9), 所求自然数 是37. 解法三：设所求的自然数为x, 则
∵
x?1x?2x?4，， 都是自然数. 4511x?1x?2x?4>> . 4511x?1x?4x?2∴+－ 也是自然数.
4115x?1x?4x?2设y=+－ .
4115去分母，得 200y=31x－47.
200y?473y?16?7y?1?.
31313y?16y取最小正整数5，能使为整数.
31x=
∴x=37, 即最小的自然数是37.
例3. 有甲，乙，丙三种货物.若购买甲3件，乙7件，丙1件共需3.15元；若购买甲4件，乙10件，丙1件共需4.20元.问购买甲、乙、 丙各1件共需几元？
(1985年全国初中数学联赛题)
解：设甲，乙，丙每件分别为x, y, z元. 根据题意，得
?3x?7y?z?3.15(1) ( 依题意只要求出x+y+z的值) ?4x?10y?z?4.20(2)?(1)×3－(2)×2：x+y+z=1.05（元）. 答：买甲、乙、 丙各1件共需1.05元.
例4. 甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车
距A站24公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距B站15公里.求A、B两站的距离. 解：设A、B两站的距离为x公里，并引入辅助未知数V甲，V乙分别表示甲、乙两车的速度. 根据题意，得
?x?2x?24?(1)?VV?甲乙 ( 这方程组可同时消去两个辅助未知数.) ?x??x?15?2(2)?VV乙?甲xx?24∵ 方程(2)左、右不等于零 ∴(1)÷(2)得2?.
xx?152解得， x=40；或 x=12 (不合题意 舍去). 答：A、B两站的距离为40公里.
丙练习55
1. 甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需7.5小时，甲，丙戊合作需5小时，甲，丙，丁合作需6小时，乙，丁，戊合作需4小时.问五人合作需几小时？
2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付42.9元，售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了，退给厂方1.6元，厂方把这1.6元又买 了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺？
3. 两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700米，继续前进到达对岸后立即返回，第二次相遇时，距河的另一岸400米，求河的宽.
4. 游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，继续前游20分钟才发现，于是返回追寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000米，求水流的速度.
5. 已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少？
6. 有一队士兵，若排成3列纵队，则最后一行只有1人；若排成5列纵队，则最后一行只有7. 人；排成7列纵队，则最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人？ 7. 求下列方程的实数解： ①
1?2x?2x?1?1?3y?0
② 5x2+6xy+2y2－14x－8y+10=0 ③ (x2+1)(y2+4)=8xy
④ 2x?y?1?3x?2y?5?0
8. 一件工程，如果甲单独完成所需的时间是乙，丙合做，完成这件工程所需时间的a倍；如果乙单独完成所需的时间是甲，丙合做，完成这件工程所需时间的b倍.(其中b>a>1),那么丙单独完成所需的时间是甲，乙合做，完成这件工程所需时间的多少倍？
(1990年泉州市初二数学双基赛题 )
9. 甲，乙两车从东站，丙，丁两车从西站，同时相向而行.甲车行120公里遇丙车，再行20公里遇丁车；乙车在离西站126公里处遇丙车，在中途遇丁车.求东西两站的距离. 10. 三辆车A，B，C从甲到乙.B比C迟开5分钟，出发后20分钟追上C；A比B迟开10分钟，出发后50分钟追上C.求A出发后追上B的时间.
11. 学生若干人住宿，如果每间4人，有20人没房住；如果每间8人，则有一间不满也不空.求学生人数.
12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5小时，由乙码头逆水航行到甲码头需7小时。问一木排从甲码头顺水漂流到乙码头要用几小时？ .
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