上海市静安区2024届高三一模数学试卷
2024.12
一、填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分) 1. 计算lim?1?0.9n??______
x??2. 在单位圆中,60°的圆心角所对的弧长为______
3. 若直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°,则l1与l2的夹角为______
r4. 若直线l的一个法向量为n?(2,1),则直线l的斜率k?______
5. 设某种细胞每隔一小时就会分裂一次,每个细胞分裂为两个细胞,则7小时后,1个此细胞将分裂为______个
6. 设△ABC是等腰直角三角形,斜边AB?2,现将△ABC(及其内部)绕斜边AB所在直线旋转一周形成一个旋转体,则该旋转体的体积为______ 7. 如图,在平行四边形ABCD中,AB?2,AD?1,则
uuuruuurAC?BD的值为______A
8. 三倍角的正切公式为tan3??______(用tan?表示)
9. 设集合A共有6个元素,用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为______ 10. 现将函数y?secx,x?(0,π)的反函数定义为反正割函数,记为y?arcsecx,则arcsec??4??______(请保留两位小数)
x2y2F2,?1的两个焦点为F1、11. 设双曲线2?点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,,
aa?1则点P到坐标原点O的距离的最小值为______
12. 设a?0,a?1,M?0,N?0,我们可以证明对数的运算性质如下:
QalogaM?logaN?alogaM?alogaN?MN,①
?logaMN?alogaM?logaN.
我们将①式称为证明的“关键步骤”,则证明logaMr?rlogaM(其中M?0,r?R)的“关键步骤”为______
二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)
13. “三个实数a、b、c成等差数列”是“2b?a?c ”的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
14. 设x、y?R,若复数
x?i是纯虚数,则点P(x,y)一定满足( ) y?iA. y?x B. y?11 C. y??x D. y?? xx15. 若展开?a?1??a?2??a?3??a?4??a?5?,则展开式中a3的系数等于( ) A. 在1、2、3、4、5中所有任取两个不同的数的乘积之和 B. 在1、2、3、4、5中所有任取三个不同的数的乘积之和 C. 在1、2、3、4、5中所有任取四个不同的数的乘积之和 D. 以上结论都不对
16. 某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处,测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东
21°方向,且塔顶的仰角为18°,此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B处,此时测得塔底位于北偏西39°方向,则该塔的高度约为( ) A. 265米 B. 279米 C. 292米 D. 306米
三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17. 如图,在正六棱锥P-ABCDEF中,已知底边长为2,侧棱与底面所成角为60°. (1) 求该六棱锥的体积V; (2) 求证:PA⊥CE.
18. 请解答以下问题,要求解决两个问题的方法不同.
(1) 如图1,要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD,如何截取?并求出这个最大矩形的面积;
(2) 如图2,要在一个长半轴为2米,短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD,如何截取?并求出这个最大矩形的面积.
19. 设{an}是等差数列,公差为d,前n项和为Sn. (1) 设a1?40,a6?38,求Sn的最大值;
(2) 设a1?1,bn?2an(n?N*),数列{bn}的前n项和为Tn,且对任意的n?N*,都有Tn?20,求d的取值范围.
20. 已知抛物线?的准线方程为x+y+2=0,焦点为F(1,1).
(1) 求证:抛物线?上任意一点P的坐标(x,y)都满足方程
x2?2xy?y2?8x?8y?0;(2) 请指出抛物线?的对称性和范围,并运用以上方
程证明你的结论;
(3) 设垂直于x轴的直线与抛物线?交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
21. 现定义:设a是非零实常数,若对于任意的x?D,都有f?a?x??f?a?x?,则称函数y=f(x)为“关于a的偶型函数”
(1) 请以三角函数为例,写出一个“关于2的偶型函数”的解析式,并给予证明; (2) 设定义域为R的“关于a的偶型函数”y?f?x?在区间(??,a)上单调递增,求证:y?f?x?在区间(a,??)上单调递减; (3) 设定义域为R的“关于
1的偶型函数”y?f?x?是奇函数,若n?N*,请猜测2f?n?的值,并用数学归纳法证明你的结论.
上海市静安区2024届高三一模数学试卷详解