离散型随机变量及其分布列
主标题：离散型随机变量及其分布列
副标题：为学生详细的分析离散型随机变量及其分布列的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：离散型随机变量，分布列，超几何分布 难度：3 重要程度：4
考点剖析：
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个离散型随机变量的分布列．
2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
命题方向：
1.随机变量的概率分布的定义、表示方法及性质，超几何分布，二项分布等特殊分布列是常见考点，难度仍然不会很大，题目类型多为选择题、填空题；
2．离散型随机变量的期望、方差的计算也是常见考点，常在解答题中考查，这是近几年高考命题的热点，难度仍然不会很大；
3．离散型随机变量经常与几何概率、计数原理、事件的互斥、统计等知识相结合考查． 规律总结：
2个注意点——掌握离散型随机变量分布列的注意点
(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量的所有可能取得的值；第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为“事件”发生的概率；
(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误． 3种方法——求分布列的三种方法
(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；
(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
知 识 梳 理
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1 3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为
X P ，其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次
n－kCkMCN－M
品，则P(X＝k)＝Cn，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，
N
0 1－p 1 p M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.
X P 0 n－0C0MCN－M CnN1 n－1C1MCN－M CnN… … m n－mCmMCN－M CnN导数在研究函数中的应用 主标题：导数在研究函数中的应用备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。 关键词：导数，极值，最值，备考策略 难度：4 重要程度：5 内容
考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2. (1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．
解 (1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2， ∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)． 令f′(x)>0，即x(ex－2)>0， ∴x>ln 2或x<0.
令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴0 ∴当x≥0时，f′(x)＝x(ex－2k)≥0恒成立． ∴ex－2k≥0，即2k≤ex恒成立． 1 由于ex≥1，∴2k≤1，则k≤2. 1 又当k＝2时，f′(x)＝x(ex－1)≥0当且仅当x＝0时取等号． 1?? 因此，实数k的取值范围是?－∞，2?. ?? 【备考策略】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题． (2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 考点二 利用导数研究函数的极值 13 【例2】 设f(x)＝aln x＋2x＋2x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴． (1)求a的值； (2)求函数f(x)的极值． 审题路线 (1)由f′(1)＝0?求a的值． (2)确定函数定义域?对f(x)求导，并求f′(x)＝0?判断根左，右f′(x)的符号?确定极值． 13 解 (1)由f(x)＝aln x＋2x＋2x＋1， a13 ∴f′(x)＝x－2x2＋2. 由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴， ∴该切线斜率为0，即f′(1)＝0. 13 从而a－2＋2＝0，∴a＝－1. 13 (2)由(1)知，f(x)＝－ln x＋2x＋2x＋1(x>0)， 113?3x＋1??x－1? ∴f′(x)＝－x－2x2＋2＝. 2x21 令f′(x)＝0，解得x＝1或－3(舍去)． 当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. ∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数． 故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，f(x)无极大值． 【备考策略】 (1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同． (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 考点三 利用导数求函数的最值 【例3】已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16. (1)求a，b的值； (2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值． ?f′?2?＝0， 审题路线 (1)??a，b的值； f?2?＝c－16? (2)求导确定函数的极大值?求得c值?求得极大值、极小值、端点值?求得最值． 解 (1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b， 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16， ?f′?2?＝0，?12a＋b＝0，?故有即? ?f?2?＝c－16，?8a＋2b＋c＝c－16.?12a＋b＝0，?a＝1，化简得?解得? 4a＋b＝－8，b＝－12.??(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12. 令f′(x)＝0，得x＝－2或2. 当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) －3 9＋c (－3，－2) ＋ －2 0 极大值 (－2,2) － 2 0 极小值 (2,3) ＋ 3 －9＋c 由表知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16. 由题设条件知，16＋c＝28，解得c＝12， 此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4. 【备考策略】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
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