.数 列
一．数列的概念：
（1）已知an?n1*{a}(n?N)，则在数列的最大项为__（答：）； n2n?15625an，其中a,b均为正数，则an与an?1的大小关系为__（答：an?an?1）； bn?1（2）数列{an}的通项为an?（3）已知数列{an}中，an?n2??n，且{an}是递增数列，求实数?的取值范围（答：???3）； 二．等差数列的有关概念：
1．等差数列的判断方法：定义法an?1?an?d(d为常数）或an?1?an?an?an?1(n?2)。
设{an} 是等差数列，求证：以bn=
a1?a2???an n?N*为通项公式的数列{bn}为等差数列。
n2．等差数列的通项：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。
(1)等差数列{an}中，a10?30，a20?50，则通项an? （答：2n?10）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：
8?d?3） 33．等差数列的前n和：Sn?n(a1?an)n(n?1)d。 ，Sn?na1?221315(n?2,n?N*)，an?，前n项和Sn??，求a1，n（答：a1??3，222（1）数列 {an}中，an?an?1?n?10）；
2（2）已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n，求数列{|an|}的前n项和Tn（答：
2*??12n?n(n?6,n?N)Tn??2）. *??n?12n?72(n?6,n?N)三．等差数列的性质：
1．当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且率为公差d；前n和
Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项为0. 2222．若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。
3．当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap.
（1）等差数列{an}中，Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，则n＝____ （答：27） （2）在等差数列?an?中，a10?0,a11?0，且a11?|a10|，Sn是其前n项和，则
A、S1,S2LS10都小于0，S11,S12L都大于0 B、S1,S2LS19都小于0，S20,S21L都大于0
C、S1,S2LS5都小于0，S6,S7L都大于0 D、S1,S2LS20都小于0，S21,S22L都大于0
（答：B）
*4．若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、{ap?nq}(p,q?N)、
Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也成等差数列，而{aan}成等比数列；若{an}是等比数列，且an?0，则{lgan}是等差
数列. 等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）
S偶－S奇?nd；S奇?S偶?a中，S2n?1?(2n?1)?a中5．在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，项数为奇数2n?1时，
（这里a中即an）；S奇:S偶?(k?1):k。如
（1）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；
（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
6．若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且
Ana(2n?1)anA2n?1?f(n)，则 n???f(2n?1). Bnbn(2n?1)bnB2n?1aSn6n?23n?1，求n（答：） ?bnTn4n?38n?7如设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若
7．“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值
an?0??an?0?确定出前多少项为非负（或非正）是所有非正项之和。法一：由不等式组?； ?或??????an?1?0??an?1?0?法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N。
*（1）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，
（2）若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，a2003?a2004?0，则使前n项和Sn?0成立的最大正整数n是
（答：4006）
8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差
数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm. 四．等比数列的有关概念：
1．等比数列的判断方法：定义法
an?1aa，其中q?0,an?0或n?1?n(n?2)。 ?q(q为常数）ananan?1（1）一个等比数列{an}共有2n?1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an?1为____（答：
5）； 6（2）数列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。 2．等比数列的通项：an?a1qn?1或an?amqn?m。
设等比数列{an}中，a1?an?66，a2an?1?128，前n项和Sn＝126，求n和公比q. （答：n?6，q?2）
1或2a1(1?qn)a1?anq?3．等比数列的前n和：当q?1时，Sn?na1；当q?1时，Sn?。如
1?q1?q（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99 （答：44）
特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q?1和q?1两种情形讨论求解。 4．提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中
a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，
aa2,,a,aq,aq…（公比为q）；q2q但偶数个数成等比时，不能设为…
aa,,aq,aq3，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如3qq此设，且公比为q2。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比数列的性质：
（1）当m?n?p?q时，则有amgan?apgaq，特别地，当m?n?2p时，则有amgan?ap2.
（1）在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则a10=___（答：512）；
（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9，则log3a1?log3a2?L?log3a10? （答：10）。
*{bn}成等比数列，则{anbn}、(2) 若{an}是等比数列，则{|an|}、{ap?nq}(p,q?N)、{kan}成等比数列；若{an}、a 若{an}是等比数列，且公比q??1，则数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也是等比数列。当q??1，{n}成等比数列；
bn且n为偶数时，数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…是常数数列0，它不是等比数列.
（1）已知a?0且a?1，设数列{xn}满足logaxn?1?1?logaxn(n?N*)，且x1?x2?L?x100?100，则
x101?x102?L?x200? 答：100a100）；
（2）在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30?13S10,S10?S30?140，求S20的值（答：40）
(3)若a1?0,q?1，则{an}为递增数列；若a1?0,q?1, 则{an}为递减数列；若a1?0,0?q?1 ，则{an}为递减数列；若a1?0,0?q?1, 则{an}为递增数列；若q?0，则{an}为摆动数列；若q?1，则{an}为常数列.
(4) 当q?1时，Sn??a1naq?1?aqn?b，这里a?b?0，但a?0,b?0，这是等比数列前n项和公式的一1?q1?q个特征，据此很容易根据Sn，判断数列{an}是否为等比数列。
若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝ （答：－1）
mn(5) Sm?n?Sm?qSn?Sn?qSm.如设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列，则
q的值为_____（答：－2）
(6) 在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶?qS奇；项数为奇数2n?1时，S奇?a1?qS偶.
(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
设数列?an?的前n项和为Sn（n?N）， 关于数列?an?有下列三个命题：①若an?an?1(n?N)，则?an?既是等差数
nb?R?，则?an?是等差数列；③若Sn?1???1?，则?an?是等比数列。这列又是等比数列；②若Sn?an2?bn?a、些命题中，真命题的序号是
（答：②③）
五.数列的通项的求法： ⑴公式法：
⑵已知Sn（即a1?a2?L?an?f(n)）求an，用作差法：an??S1,(n?1)。
Sn?Sn?1,(n?2)①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an（答：an??3,n?1）；
2n,n?2②数列{an}满足
11114,n?1a1?2a2?L?nan?2n?5，求an（答：an?n?1）
2,n?2222?f(1),(n?1)??f(n)Lgan?f(n)求an，用作商法：an??⑶已知a1ga2g。如数列{an}中，a1?1,对所有的n?2都有
,(n?2)??f(n?1)a1a2a3?an?n2，则a3?a5?______（答：
61） 16⑷若an?1?an?f(n)求an用累加法：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?L?(a2?a1)
?a1(n?2)。an?an?1?如已知数列{an}满足a1?1，
1n?1?n则an=_______（答： (n?2)，an?n?1?2?1）
⑸已知
an?1aaa?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1?L?2?a1(n?2)。如已知数列{an}中，a1?2，前n项和Sn，anan?1an?2a12若Sn?nan，求an（答：an?4）
n(n?1)⑹已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。
n特别地，（1）形如an?kan?1?b、an?kan?1?b（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等
比数列后，再求an。
3n?1?1）① 已知a1?1,an?3an?1?2，求an（答：an?2g；
n3n?1?2n?1）② 已知a1?1,an?3an?1?2，求an（答：an?5g；
高一数学数列部分经典习题及答案
