习 题 6－1
1．设u?a?b?2c， v解 2u?3v??a?3b?c．试用a、b、c表示2u?3v．
=5a－11b＋7c．
2．试用向量证明：三角形两边中点的连线平行且等于底边的一半．
解 设三角形ABC中，E是BC的中点， F是AC的中点（图6－1），则
AE?1AB,2AF?1AC, 2
A E
F C 又 EF?AF?AE,BC?AC?AB,B
11所以 EF?(AC?AB)?BC， 图6－1
22即EF平行且等于底边BC的一半。
3．求平行于向量a?4i?3k的单位向量． 解 所求单位向量为?43431，即和{,0,?}{?,0,}． 4,0,3??555554．求点M(-3, 4 ,5)到各坐标轴的距离．
解 过M点做与x轴垂直相交的直线，其交点坐标为 (-3,0,0)，所以，点M到x轴的距离为42?52?41．类似求得，点M到y轴的距离为(?3)2?52?34，到Z轴的距离为(?3)2?42?5．
5．在yOz面上，求与三点A(3,1,2)、B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点． 解 设点P(0,y,z)与A、B、C三点等距离，则 PA?PB22?PC,
2222222??3?(1?y)?(2?z)?4?(?2?y)?(?2?z)即 ?， 22222??(5?y)?(1?z)?4?(?2?y)?(?2?z)解方程组得，y?1,z??2，故所求点为(0,1,?2)．
6．求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．
解 因为M1M2??3,?2,1?,M1M3??1,?1,2?,M2M3???2,1,1?，则
M1M3?M2M3?6 故三角形M1M2M3是一个等腰三角形．
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7．已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)．计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角． 解 因为M1M2??1,?2,1，所以模 M1M2?2；方向余弦分别为 cos?????1, 2cos???22?3??1,cos??；方向角分别为，，． 223438．已知向量a?4i?4j?7k的终点在点B(2,-1,7)，求这向量起点A的坐标． 解 设A点坐标为(x,y,z)，则AB??2?x,?1?y,7?z???4,?4,,7?，解得
x??2,y?3,z?0，故A(－2，3，0)．
9．设m?3i?5j?8k,n?2i?4j?7k和p?5i?j?4k．求向量a?4m?3n?p在
y轴上的分向量．
解 由于a?4(3i?5j?8k)?3(2i?4j?7k)?(5i?j?4k)?13i?7j+15k
故a在y轴上的分向量为7j．
10．设a＝(1，4，5)，b＝(1，1，2)，求?使a解 由于两个向量垂直，所以
??b垂直于a??b．
(a??b)?(a??b)?a??2b?42?6?2?0，
解得???7．
11．设质量为200kg的物体从点M1(2，5，6)沿直线移动到点M2(1，2，3)，计算重力所作的功（长度单位为m，重力方向为z轴负方向）．
解 由于位移s=M1M222???1,?3,?3?，重力F??0,0,?200g?（g?98m/s2），
所以, 重力所作的功W?F?s=?0,0,?200g????1,?3,?3??600g?5880J．
习题 6－2
1．设a (1)
?3i?j?2k,b?i?2j?k，求
a?b 及a?b； (2)
a与b的夹角的余弦．
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高等数学第3版(张卓奎 王金金)第六章习题解答
