第十六章 机械波
16-1 一波源作简谐振动，周期T?0.01s，振幅A?0.4m，当t?0时，振动位移恰为正方向的最大值．设此方程以v?400m/s的速度沿直线传播，试求(1)此波的波函数；(2)距波源2m和16m处质点的振动方程和初相；(3)距波源15m和16m处质点振动的相位差．
分析 波源的周期和频率就是机械波的周期和频率，对于平面波，在忽略传播过程中的能量损失的情况下，波源的振幅就是波的振幅，如果已知波速或波长以及波源的初相，就能给出波函数．由上一章的讨论可知，当给出振动的初始位置和运动方向时，振动的初相就确定了．
由波函数可以获得波线上任一点的振动方程；以及任一时刻波线上各点的位移，即波形．波线上相位差为2?质点间的距离（也可视为两个相邻的相位相同点间的距离）为一个波长．
解 (1)波源的角频率为
??2?T?2?0.01 rad/s?200? rad/s
初始时波源振动达正方向的最大值，即??0，波源的振动方程为
y?0.4cos(200?)
已知v?400m/s，波函数为
y?0.4cos200?(t?x400)
x?0
(2)由波函数得x?2m处振动方程为
y?0.4cos200?(t?2400)?0.4cos(200???)
该处质点初相为?．
x?16m处振动方程为
y?0.4cos200?(t?16400)?0.4cos(200??8?)m
该处质点初相为8?或0．
(3)两点相位差为 ???2?15m?x??2?16?15400?0.01??2
处质点相位超前．
16-2 已知平面波波函数y?0.2cos?(2.5t?x)．式中x、y以米计，t以秒
计，试求(1)波长、周期、波速；(2)在x?1m处质点的振动方程；(3)在t?0.4s时，该处质点的位移和速度．这是原点处的质点在哪一时刻的运动状态？再经过0.4s后该运动状态传至何处？
分析 本题强调这样的概念：波的传播过程是振动状态（或相位）的传播过程．在单位时间内振动状态（或相位）传播的距离称为波的传播速度，也称为相速度，即本书中的波速v（以区别于反映振幅或能量传播的群速度）．波在介质中传播时，波线上各质点仍在各自的平衡位置附近振动，并不跟随波前进，质点
的振动速度为u?dydt．
解 (1)将波函数y?0.2cos?(2.5t?x)与简谐波的标准形式对比，得
??2.5? rad /s v?2.5 m/sT?2?
??2?2.5?s?0.8s
??vT?2.5?0.8m?2m(2)由波函数得x?1m处的振动方程为
y?0.2cos2.5?(t?x2.5)x?1?0.2cos2.5?(t?)2.5
1 ?0.2cos(2.5?t??)m(3)由波函数得t?0.04s时x?1m处质点的位移为
y?0.2cos2.5?(t?12.5)t?0.04?0.2m
该时刻该质点振动速度为
u?dydtt?0.04??0.2?2.5?sin2.5?(t?12.5)t?0.04?0
是原点处质点在(0.4?12.5)?0时刻的振动状态．
再经过0.4s该运动状态传播的距离
x?0.4v?0.4?2.5?1m即传至距该处1m或距原点2m处．
16-3 如图16-3，一平面简谐波在空间传播，已知波线上某点P的振动规律为y?Acos(?t??),根据图中所示的两种情况，分别列出以O为原点的波函数． 分析 本题可以沿两条思路求解：(1)由于波线上各点的相位依次落后, 根据两点间的距离可以判断O点比P点相位超前多少或落后多少, 因已知P点的振动方程，就能写出O点的振动方程，再写出以O为原点的波函数．(2) 从P点的振动方程直接写出以P为原点的波函数，根据波函数的物理意义写出O点的振动方程，再写出O为原点的波函数．下面给出第一种解法．
y y v v l l O P x P O x 图16-3 解 (1)第一种情况，波沿x轴正向传播，O点的相位比P点超前?以O点的振动方程为
y?Acos[?t?(?lv??)]lv, 所
以O为原点的波函数为
y?Acos[?(t?xv)?(?lv??)]?Acos[?(t?x?lv)??)]
(2)第二种情况，波沿x轴负向传播，O点在P点右侧，O点的相位比P点超前?lv，所以O点的振动方程为
y?Acos[?t?(?lv??)]
x?lv以O为原点的波函数为
y?Acos[?(t??xv)?(?34Tlv??]?Acos[?(t?)??)]
16-4 一平面余弦波在t?时的波形如图16-4（a）所示(T为周期), 此波
以v=36m/s的速度沿x轴正向传播, (1)画出t=0时刻的波形图；(2) 求O、P点的振动初相；写出O点的振动方程及以O为原点的波函数.
分析 波形曲线，即y-x图，给出了某一时刻波线上各点的位移．已知波速时，从t?34T 时的波形可以推出t=0或t=T时的波形，从而可得O点的振动方
程, 进而求出O为原点的波函数．
y/m 0.2 O P 0.4 x/m -0.2 （a） 图16-4 y/m 0.2 0.4 O P x/m （b） 34解 (1) t?134T时刻的波形沿x轴负向移动?即为t=0时的波形，或沿x
轴正向移动?即得t=T时的波形，如图16-4(b)．
4(2) 由图16-4(a)得 A?0.2m, ??0.4m, 又v?36m/s 对O点有，t=0时，有
??0 （1） y0?Acos v0??A?sin??0 （2） 由(1)式得????2，由(2)式得sin??0，所以应取
???2
对P点， t=0时，有
yP0?Acos??0.2 (3)
大学物理答案第十六章
