章末复习提升课
- 1 -
空间几何体的表面积与体积
如图所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内过点 C 作l⊥CB，以 l 为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.
【解】 由题易知以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体如图所示，即圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥.
在梯形 ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， 所以CD＝
＝2a，AB＝CDsin 60°＝3a，
cos 60°
BC－AD所以 DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a， 1
所以 DO＝DD′＝a.
2
由上述计算知，圆柱的母线长为3a，底面半径为 2a； 圆锥的母线长为 2a，底面半径为 a.
所以圆柱的侧面积 S1＝2π·2a·3a＝43πa， 圆锥的侧面积 S2＝π·a·2a＝2πa， 圆柱的底面积 S3＝π（2a）＝4πa， 圆锥的底面积 S4＝πa，
所以组合体上底面面积 S5＝S3－S4＝3πa， 故旋转体的表面积
2
2
2
22
2
S＝S1＋S2＋S3＋S5＝（43＋9）πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，且 V132323
π·（2a）·3a＝43πa，V锥＝·π·a·3a＝πa，
33
故旋转体的体积 V＝V柱－V锥＝43πa－
空间几何体表面积、体积的求法
（1）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. （2）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
（3）求复杂几何体的体积时，常用割补法和等体积法求解.
- 2 -
3
柱
＝
311333
πa＝πa. 33
如图所示，在多面体 FEABCD 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 △ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积 V.
解：如图所示，分别过 A，B 作 EF 的垂线 AG，BH，垂足分别为 G，H.连接 DG，CH，1
容易求得 EG＝HF＝.
2
所以 AG＝GD＝BH＝HC＝
3， 2
S△AGD＝S△BHC＝×1222×1＝， 24
V＝VE-ADG＋VF-BHC＋VAGD-BHC
22??11
＝?××?×2＋×1
4?324?＝
球与其他几何体的组合问题 已知三棱锥S2
. 3
ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为（ ）
A.C.
2
62 3
B.D.3 62 2
【解析】 设△ABC外接圆的圆心为O1， 则OO1＝OC－O1C＝ 三棱锥S2
2
161－＝. 33
26
. 3
ABC的高为2OO1＝
ABC的体积
所以三棱锥SV＝×
133262×＝.故选A. 436
【答案】 A
解决与球有关组合体问题的常用方法
（1）与球有关的组合体，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，充分发挥
- 3 -
空间想象能力，做到以下几点：
①明确切点和接点的位置； ②确定有关元素间的数量关系； ③作出合适的截面图.
（2）一般地，作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素，能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数量关系，将立体问题转化为平面问题解决.
1.已知PA，PB，PC两两垂直且PA＝2，PB＝3，PC＝2，则过P，A，B，C四点的球的体积为 Ｗ.
解析：以PB，PA，PC为长方体的长、宽、高作长方体，则长方体的对角线长为PA＋PB＋PC＝3，
3439即球的半径为，V球＝πR＝π.
2329
答案：π
2
2.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的Ｗ.
解析：设圆锥的底面半径为r，球面半径为R， 322
则πr＝×4πR，
16解得r＝
3
R， 2
3
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 16
2221
所以对应球心距为R，
211
故小圆锥的高为R－R＝R，
2213
大圆锥的高为R＋R＝R，
221
所以比值为. 31答案： 3
空间中的共点、共线、共面问题
- 4 -
如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2.
求证：（1）E、F、G、H四点共面； （2）GE与HF的交点在直线AC上. 【证明】 （1）因为BG∶GC＝DH∶HC，
所以GH∥BD，又因为E、F分别为AB，AD的中点， 所以EF∥BD，所以EF∥GH， 所以E、F、G、H四点共面.
（2）因为G、H不是BC、CD的中点，所以EF≠GH. 又EF∥GH，
所以EG与FH不平行， 则必相交，设交点为M，
错误!?M∈平面ABC且M∈平面ACD ?M在平面ABC与平面ACD的交线上 ?M∈AC.
所以GE与HF的交点在直线AC上.
在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB，BC，DC，AD（或延长线）分别与平面α相交于点E，F，G，H.求证：E，F，G，H必在同一直线上.
证明：因为AB∥CD，
所以四边形ABCD是一个平面图形，
即AB，CD确定一个平面β，则AB?β，AD?β. 因为E∈AB， 所以E∈β，
因为H∈AD，所以H∈β. 又因为E∈α，H∈α， 所以α∩β＝EH. 因为DC?β，G∈DC， 所以G∈β. 又因为G∈α，
所以点G在α与β的交线EH上. 同理，点F在α与β的交线EH上.
- 5 -
高中数学第八章立体几何初步章末复习提升课学案新人教A版必修第二册
