课时跟踪检测（十六） 一元二次不等式的解法及其应用
（习题课）
层级一 学业水平达标
1．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0 A．[15,20] C．(10,15) B．[10,15] D．(0,10] 解析：选B 由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500， 解得10≤t≤15. 2．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是( ) A．{x|x<5a或x>－a} C．{x|－a B．{x|x>5a或x<－a} D．{x|5a 1 解析：选A 方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a,5a.∵2a＋1<0，∴a<－，∴－a>5a.结 2合函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}．故选A. 3．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－4,4) D．[－4,4] 解析：选A 不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4. 4．若0 B．{x|3a≤x≤3a2} D．{x|x≤3a或x≥3a2} 解析：选A 因为0 5．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( ) A．1 C．－3 B．－1 D．3 解析：选C 由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数， ∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3. 6．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围为________． ??a>0， 解析：当a＝0时，有1<0，故A＝?成立；当a≠0时，要使A＝?，须满足? ?Δ＝a2－4a≤0，? ∴0 答案：[0,4] 7．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4. 答案：[－1,4] 2x2＋2mx＋m 8．如果不等式<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是________． 4x2＋6x＋333 2x＋?2＋>0对一切x∈R恒成立，从而原不等式等价于2x2＋解析：由4x2＋6x＋3＝?2?4?2mx＋m<4x2＋6x＋3?2x2＋(6－2m)x＋(3－m)>0对一切实数x恒成立?Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＝4(m－1)(m－3)<0，解得1 答案：(1,3) 9．已知对任意x∈(0，＋∞)不等式x2－ax＋2>0恒成立，求实数a的取值范围． 解：令 f(x)＝x2－ax＋2＝ ?x－a?2＋2－a， ?2?4 2 (1)当a≤0时f(x)在(0，＋∞)为单调递增的． f(0)＝2>0，故a≤0时，x2－ax＋2>0恒成立． a (2)当a>0时f(x)＝x2－ax＋2的对称轴为x＝. 2∴当x∈(0，＋∞)时， a2 f(x)min＝2－. 4 若x2－ax＋2>0在x∈(0，＋∞)恒成立， a2 只要2－>0即可， 4∴0 综上，若x2－ax＋2>0在(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为(－∞，22)． 10．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求a，b； (2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0. 解：(1)∵不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}， ∴x＝1与x＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系， ?1＋b＝a，得?21×b＝，?a 3 ??a＝1， 解得? ?b＝2.? (2)原不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，可化为x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. ①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2 综上所述，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2 层级二 应试能力达标 m 1．若不等式x2＋mx＋>0恒成立，则实数m的取值范围是( ) 2A．(2，＋∞) C．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，2) D．(0,2) m 解析：选D ∵不等式x2＋mx＋>0，对x∈R恒成立，∴Δ<0即m2－2m<0，∴0 22.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( ) A．[15,30] C．[10,30] B．[12,25] D．[20,30] 内 x40－y 解析：选C 设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，＝，∴y＝40－x， 4040∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30. 3．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( ) A．(1,3) C．(1,2) B．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) 解析：选B 设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]? 2???g?1?＝x－3x＋2>0，?x<1或x>2， ????x<1或x>3. 2??g?－1?＝x－5x＋6>0x<2或x>3?? 4．关于x的不等式x2＋ax＋ a2 －c<0的解集为(m，m＋6)，则实数c＝________. 4 aaaa2aa x＋?2 2 ＝6.解得c＝9. 答案：9 5．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，则a的取值范围为________． 解析：(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立， 即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x成立． ∴x2－x－a2＋a＋1>0恒成立， 13 ∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，∴－ 2213－，? 答案：??22? m2x－1 6．若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是________． mx＋1解析：因为m≠0，所以分两种情况讨论： 11 －m，2?，显然不适合题意； (1)m>0，不等式的解集是?m??(2)m<0， (ⅰ)当m＝－1时，不等式化为－(x－1)2<0，对于x≠1均成立； mx－111 －∞，－m?∪?2，＋∞?，要使不等式(ⅱ)当－1 <0(m≠0)对一切x≥4恒成立，必须2<4，结合－1 m2 111 －∞，2?∪?－，＋∞?，所以－≤4恒成立． (ⅲ)当m<－1时，不等式的解集是?m??m??m1－∞，－?. 综上，实数m的取值范围是?2??1 －∞，－? 答案：?2?? 7．某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，因竞争加剧收入将逐月减少，分析测算得从2015年开始第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且2015年后每月再投入1万元进行员工培训，且测算得自2015年后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn＝an＋b，且2015年第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问2015年后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入． 解：2015年改革后经过n个月的纯收入为(Tn－300－n)万元，公司若不进行改革，由题设知2015年后因竞争加剧收入将逐月减少． 2 分析测算得2015年第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元． 所以不改革，第一个月：70－3－2×(1－1)， 第二个月：70－3－2(2－1)， 第三个月：70－3－2(3－1)， … 第n个月：70－3－2(n－1)， 所以不改革时的纯收入为：70n－?3n＋ ? n?n－1?? ·2万元， 2? ???90＝a＋b，?a＝80， 由题设知?所以? ?170＝2a＋b，???b＝10， 由题意建立不等式：80n＋10－300－n>70n－3n－(n－1)n， 整理，得n2＋11n－290>0，得n>12.4， 因为n∈N，故取n＝13. 答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入． 8．已知不等式mx2－2x－m＋1<0， (1)若对任意实数x不等式恒成立，求m的取值范围． (2)若对一切m∈[－2,2]不等式恒成立，求x的取值范围． 解：(1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立， 即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方． 当m＝0时，不等式变为1－2x<0，对任意实数x不恒成立，故m＝0不满足； 当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解， ??m<0， 即?则m无解． ?Δ＝4－4m?1－m?<0，? 综上可知不存在这样的m，使不等式恒成立． (2)设g(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)， 当x2－1＝0时，即x＝±1，检验得x＝1时符合题意， 当x2≠1时，则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线， 由题意知该直线当－2≤m≤2时在x轴下方， 2???g?－2?<0，?－2x－2x＋3<0， ①∴?即?2 ?g?2?<0，???2x－2x－1<0. ② －1－7－1＋7解①，得x<或x>， 22
苏教版高中数学必修五课时跟踪检测(十六) 一元二次不等式的解法及其应用(习题课)
