专题六 不等式
问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题
一、考情分析
纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答．从实际教学来看,这部分知识能力要求高、难度大,是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目．分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．
二、经验分享
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
(3)根据不等式恒成立求参数问题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值．
三、知识拓展
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立?f(x)min>A(x∈D)； 若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x) (2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立?f(x)max>A(x∈D)； 若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x) (4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围． 四、题型分析 一、不等式恒成立问题 新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径, 它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分． 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．下面我就以近几年高考试题为例加以剖析． (一)函数性质法 1.一次函数——单调性法 给定一次函数y?f?x??ax?b?a?0?,若y?f?x?在?m,n?内恒有f?x??0,则根据函数的图像（线段） ??a?0?a?0,?f?m??0,（如右下图） 可得上述结论等价于（1）?或（2）?可合并定成? ?f(n)?0.?f(m)?0??f?n??0.??f?m??0,同理,若在?m,n?内恒有f?x??0,则有???f?n??0. 【例1】若不等式2x?1?m(x?1)对满足?2?m?2的所有m都成立,求x的范围． 【分析】我们可以用改变主元的办法,将m视为主变元,即将元不等式化为： m(x?1)?(2x?1)?0来求解． [来源:Z&xx&k.Com]22 【点评】有些问题,如果采取反客为主（即改变主元）的策略,可产生意想不到的效果． 2.二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解 主要有以下几种基本类型： 类型1：设f(x)?ax?bx?c(a?0). （1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0；（2）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0． 类型2：设f(x)?ax?bx?c(a?0). 22b?b??b????????????,??（1）当a?0时,f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a 或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0.?f(?)?0, f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??f(?)?0.???f????0,（2）当a?0时,f(x)?0在x?[?,?]上恒成立?? ??f????0.b?b??b????????????,??f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a 或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0.【例2】【甘肃省天水市第一中学2024届高三上学期第二学段期中】对于任意实数x，不等式 ?a?2?x2?2?a?2??4?0恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. ???,2? B. ???,2? C. ??2,2? D. ??2,2? 【答案】C 【点评】不等式的恒成立，应和函数的图像联系起来.二次项系数含字母，应对二次项系数是否为0，分情况讨论.当二次项系数不为0时，结合二次函数图像考虑，根据题意图像应恒在x轴的下方，故抛物线开口向下且和x轴没交点，即判别式小于0.综合两种情况可得所求范围. 13?【小试牛刀】已知命题p：函数f(x)＝x2＋2ax＋1在R上有零点．命题q：x2＋3(a＋1)x＋2≤0在区间??2，2?内恒成立．若命题“p且q”是假命题,求实数a的取值范围． 【解析】p真时,Δ＝4a2－4≥0?a≥1或a≤－1.则p假时,－1＜a＜1.
高考数学易错题6.1 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题
