历年中考数学易错题汇编-一元二次方程组练习题含答案
一、一元二次方程
1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）s或12cm2． 【解析】
8524s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为 5试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时． 试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm； 在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得 PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴PQ=62cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是62cm； （2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm． （16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64， ∴16-5x=±8， ∴x1=
824，x2=；
558524sP、Q两点之间的距离是10cm； 5∴经过s或
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2． ①当0≤y≤∴
16时，则PB=16-3y， 311PB?BC=12，即×（16-3y）×6=12， 22解得y=4；
②当
1622＜x≤时，
33BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
11BP?CQ=（3y-16）×2y=12， 22解得y1=6，y2=-③
2（舍去）； 322＜x≤8时， 3QP=CQ-PQ=22-y，则
11QP?CB=（22-y）×6=12， 22解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2． 考点：一元二次方程的应用．
2．计算题
1x2÷（1+2（1）先化简，再求值：），其中x=2017．
x?1x?1（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】（1）2024；（2）m=4 【解析】
分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；
（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
1x2÷（1+2详解：（1））
x?1x?1x2x2?1?1= ?2x?1x?1x2?x?1??x?1?= ?2x?1x=x+1，
当x=2017时，原式=2017+1=2024
（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0， 解得，m=4
点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.
3．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．
【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．
4．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根． （2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2． 【解析】
试题分析：（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1, x=
有一个解；
+
+ x1+x2，S的值能为2吗？
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程， △=（2k）2-4×2（k-1）=4k2-8k＋8=\ ＋4＞0 方程有两不等根
综合①②得不论k为何值，方程总有实根 （2）∵x ?＋x ?＝
,x ? x ?=
∴S==
++ x1+x2
=
=
==2k-2=2， 解得k=2，
∴当k=2时，S的值为2 ∴S的值能为2，此时k的值为2．
考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．
5．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）
探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+…+a=______． 探究二：
2?3=3条线段，23?4=6条线2a?a?1?2线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为
（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有上有1+2=
a?a?1?2条线段，棱AC
2?3=3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为2a?a?1?2×3×1=
3a?a?1?2．
（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有上有1+2+3=
a?a?1?2条线段，棱AC
3?4=6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． 2（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．
探究三：
（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有AC上有
a?a?1?2条线段，棱
b?b?1?2
2?3=3条线段，则图中长方体的个数为2条线段，棱AD上有1+2=
3a?a?1?b?b?1?2×
2×3=
3ab?a?1??b?1?4．
（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有
a?a?1?2条线段，棱AC
上有
b?b?1?2______．
条线段，棱AD上有1+2+3=
3?4=6条线段，则图中长方体的个数为2
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