高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一2.基本不等式教案（含
解析）新人教A版选修45
1．基本不等式的定理1,2
定理1：如果a，b∈R，那么a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b＞0，那么
2
2
a＋b2
≥ab，而且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的
算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
2．基本不等式的理解
重要不等式a＋b≥2ab和基本不等式
2
2
a＋b2
≥ab，成立的条件是不同的．前者成立的
条件是 a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，
a＋bb≥0仍然能使≥ab成立．
2
两个不等式中等号成立的充要条件都是a＝b. 3．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (a＋b)
(1)a＋b≥；
2
2
2
2
(2)ab≤
a2＋b2
2
；
(3)ab≤?
?a＋b?2；
??2?
2
2
?a＋b?2≤a＋b； (4)??2?2?
(5)(a＋b)≥4ab.
2
利用基本不等式证明不等式 [例1] 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 111
求证：＋＋≥9.
abc[思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明． [证明] 法一：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋
abcabc＝3＋＋＋＋＋＋
bcacabaabbcc?ba??ca??cb?＝3＋?＋?＋?＋?＋?＋?≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
?ab??ac??bc?
111
即＋＋≥9.
abc法二：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， 111?111?∴＋＋＝(a＋b＋c)?＋＋?
abc?abc?
＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1
bcaaabcabbcc?ba??ca??cb?＝3＋?＋?＋?＋?＋?＋?
?ab??ac??bc?
≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 111
∴＋＋≥9.
abc
用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．
1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 证明：因为a，b，c，d都是正数， 所以ab＋cd2
≥ab·cd＞0，
ac＋bd2
≥ac·bd＞0，
(ab＋cd)(ac＋bd)所以≥abcd，
4即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
当且仅当ab＝cd，ac＝bd，即a＝d，b＝c时，等号成立． 2．已知a，b，c为正实数， (a＋b)(b＋c)(c＋a)
求证：(1)≥8；
abc(2)a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. 证明：(1)∵a，b，c为正实数， ∴a＋b≥2ab>0，
b＋c≥2bc>0， c＋a≥2ca>0，
由上面三式相乘可得
(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8ab·bc·ca＝8abc. 即
(a＋b)(b＋c)(c＋a)
≥8.
abc(2)∵a，b，c为正实数，
∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca， 由上面三式相加可得
(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2ab＋2bc＋2ca. 即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.
利用基本不等式求最值 [例2] (1)当x>0时，求f(x)＝2x的值域； x＋1
2
3
(2)设0 219 (3)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． xy[思路点拨] 根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值． [解] (1)∵x>0， ∴f(x)＝ 2x2 ＝. x＋11 x＋ 2 x1 ∵x＋≥2， x∴0<1≤. 12x＋ 1 x∴0 (2)∵0 2∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤2??2x＋(3－2x)?2＝9. ?22?? 3 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． 4 9 ∴y＝4x(3－2x)的最大值为. 219 (3)∵x>0，y>0，＋＝1， xyy9x?19?∴x＋y＝?＋?(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16. ?xy? xy当且仅当＝ y9x19 ，又＋＝1， xyxy即x＝4，y＝12时，上式取等号． 故当x＝4，y＝12时，有(x＋y)min＝16. 在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行： (1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正； (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决． 11 3．已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值是( ) xyA．4 C．2 B．3 D．1 11x＋y2xy2 解析：选D ＋＝≥＝， xyxyxyxy当且仅当x＝y时取等号． ∵log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4. 112∴＋≥＝1，当且仅当x＝y＝2时取等号， xyxyxy11 故＋的最小值为1. 11xy4．设x，y∈R，a>1，b>1，若a＝b＝2,2a＋b＝8，则＋的最大值为( ) xyA．2 C．4 xyB．3 D．log23 解析：选B 由a＝b＝2得x＝loga2，y＝logb2， 1111∴＋＝＋＝log2a＋log2b＝log2(ab)． xyloga2logb2又a>1，b>1， ∴8＝2a＋b≥22ab，即ab≤8， 当且仅当2a＝b， 即a＝2，b＝4时取等号， 11 所以＋＝log2(ab)≤log28＝3. xy?11?故?＋?max＝3. ?xy? 利用基本不等式解决实际问题 [例3] 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m)． 2 2 (1)求S关于x的函数关系式； (2)求S的最大值． [解] (1)由题设，得S＝(x－8)?(2)因为8 ?900－2?＝－2x－7 200＋916，x∈(8,450)． ?x?x? x7 200 2x·＝240， x当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676. 故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m. 利用基本不等式解决实际应用问题的步骤 (1)仔细阅读题目，弄清基本要解决的实际问题，确定是求什么量的最值； (2)分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)； (3)利用基本不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约． 2
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一2.基本不等式教案(含解析)新人教A版选修45
