云飞专升本精讲班第二次摸底 《高等数学》答案及详解
一、单项选择题（每题2分，共计60分）
1. 【答案】C. 解：0?2x?1?1,所以12?x?1.应选C. 2. 【答案】C.
解: lim??tanx???，lim?tanx???，A不对.
x?2x??2?xlim???arctanx??2, xlim???arctanx??2, B不对。
limx?1?ln(1?x)???，D不对。而limx(x?1)x??x2?2?1，应选C. 3. 【答案】A.
解: 因1?cos1111?1x?2sin22x~2?1xx??x2?2,从而lim??1?cosx???2，应选A.
4. 【答案】C.
解: limex?ax2?x?1x?0x2?limex?2ax?1x?02x?limex?2ax?02?1?2a2?0,应选C. 5. 【答案】B.
解:f(x)在x?0处无定义,且limf(xsinxx?0)?limx?0x?1，为可去间断点，应选
B.
6. 【答案】A.
解: limf(x?h)?f(x?2h)h?0h?3f?(x)?3cosx,应选A. 7. 【答案】D.
?x0tf(t)dtx解: ??(0)?lim?(x)??(0)x20tf(t)dtx?0x?0?limx?0x?lim?x?0x3
?limxf(x)f(x)f?(x)f?(0)x?03x2?limx?03x?limx?03?3，应选D. 8. 【答案】B.
解: (xn)(n)?n!，(ex)(n)?ex，f(n)(x)?n!?ex，应选B.
9. 【答案】C.
解:在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]内利用由罗尔定理可得结论，三个实根，应选C.
10. 【答案】C.
解: f(x)?(x?1)ex,f?(x)?(x?2)ex?0,f??(x)?(x?3)ex?0,应选C. 11. 【答案】B.
解:xlimx???3?x??1,y??1为水平渐近线，limxx?33?x??,x?3为垂直渐近
线，应选B.
12. 【答案】A.
解: f?(x)?(x?1)(x?1),f??(x)?2x，在(1,??)内，f?(x),f??(x)均大于
0，应选A.
13. 【答案】C.
解:y??3ax2?2bx,y???6ax?2b,x?1满足y???0的方程，（1，3）满足
y?ax3?bx2，联立两方程解得。应选C.
14. 【答案】A.
22解:ddx?x221dx0tf(x?t)dt??2dx?0f(x2?t2)d(x2?t2)u?x??t?1d02dx?x2f(u)du ?1dx21222dx?0f(u)du?2f(x)2x?xf(x) 应选A.
15. 【答案】C. 解: ?f?(1?2x)dx?12?f?(1?2x)d(1?2x)?12f(1?2x)?C,应选C. 16. 【答案】D.
解:由定积分的几何意义可得结论,应选D.
17. 【答案】D.
解：?xaf?(2t)dt?12?xaf?(2t)d(2t)u??2t12x2?2af?(u)d(u)
?12f(u)|2x12a?2[f(2x)?f(2a)] 应选D.
18. 【答案】D.
解:?????1cosxdx?sinx1?xlim???sinx?sin1, xlim???sinx不存在，应选D.
19. 【答案】C. 解:?au??x?a?af(x)dx???af(?u)du????aaf(?x)dx??a?af(?x)dx,应选C.
20. 【答案】C. 解:?xf(t)dt?1f(x),求导得f(x)??f?(x)df(x)0f2(x)，分离变量得f3(x)??dx，两边积分
1f2(x)?2x?C,故f2(x)?12x?C.应选C. 21. 【答案】D.
解:ar?br2?ar2?2ar?br?br2?1?2?1?2?cos?4?2?5，应选D.
22. 【答案】A.
解:注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别,应选A. 23. 【答案】B.
解:驻点为（0，0）和（1，1）,考察B2?AC的符号，应选B. 24. 【答案】C. 解:
?z?x?1?1y?y1?(x)2x2?y2.应选C. y25. 【答案】A.
解:积分区域关于y轴对称，被积函数关于x为奇函数,应选A. 26. 【答案】B.
解: 画出积分区域图可知:D?{(x,y)|0?x?2,x?y?2x}?
{(x,y)|0?y?2,y22?x?y},应选B.
27．【答案】A.
解: 在(0,0)到点(1,0)段上积分为0, 在(1,0)到点(1,1)段上??x?1?y?y,y从
0变到1,有?xdy?(x2?y2)ydx??1L0dy?1?A.
28．【答案】D.
解:比较判别法只适用于正项级数判别,应选D. 29．【答案】C.
解: 对A,C进行验证知,应选C. 30．【答案】D.
解:??1为特征方程r2?2r?1?0的二重特征根，应设特解为
y??x2(Ax?B)ex，应选D.
二、填空题（每题2分，共30分）
31.
解: limn(n?1?n?2)?lim3nn??n??n?1?n?2?32. 32.
解: limsinx?e2ax?1x?0f(x)?limx?0x?1?2a?a?f(0).所以，a??1. 33.
解: 交点坐标为（-1，0）和（1，0），切线斜率为y?1x??1?(1?x2)?2，所x??1以法线斜率为?12，代入点斜式方程y?0??12(x?1)，即x?2y?1?0。
34.
解:y?2x2?ax?3,y??4x?a?0，所以a??4.
35.
dy1dt1?t21?t2dtt2)222解:dydx?dxdt?t?td2yddy?(1??t(1?t)1?11?t2.dx2?dx(dx)?dxdtt2dt1?1(1?t2)3。
t236.
解: y??ex(x?1)?ex(x?1)2?xex(x?1)2?0,所以单调增区间为（0，+?）。 37.
解:ddx?f(x)d(arctanx)?d1f(x)dx?f(x)1?x2dx?1?x2. 38.
解: ?1?tanx1?tanxdx??cosx?sinxcosx?sinxdx??1cosx?sinxd(cosx?sinx)
?lncosx?sinx?C.
39． 解:f(?x)?ln1?x1?x??f(x).所以原式?0。 40.
解:ar?br?ri?5rj?3kr,S?ar?br?12?(?5)2?(?3)2?35. 41．
解:设F(x,y,z)?ez?z?xy?3，则曲面在点（2，1，0）处切平面的法向量为?Fzx?,Fy?,Fz??(2,1,0)??y,x,e?1?(2,1,0)??1,2,0?，切平面方程为x?2y?4?0.
42．
解: z?12ln(x2?y2)?dz?xdx?ydy(x2?y2). 43．
解:D???????(r,?)0?r?2,?2???2??，所以
???(x2?y2)dxdy??222?d??0rrdr?4?。 D?244.
解:由比值判别法，limu?1n?1an(n?1)!nnaan??u?limnn??(n?1)n?1ann!?limn???n?，所以??1?1?n?e?当a?e时发散。
?但当a?e，级数化为?enn!?nnen!uen?1nn或?(?1)1n?1nn。有n?u?n?1，即一n???1?1?n??般项un越来越大，不趋向零，从而是发散的，故应填a?e. 45.
解: eydy?(sinx?cosx)dx?0?dey?d(sinx?cosx)dx?0?
d[ey?sinx?cosx]?0?ey?sinx?cosx?C.
三、计算题（每小题5分，共40分）
46.
1x2?解: lim2?x0arctantdtx?x?0?x2?limarctanxx?02xsinx2?limx?arctanxx?3 0sintdt02x1?1?lim1?x26x2?lim11x?0x?06(1?x2)?6. 47. 解: y?x31?sinx1?cosx，lny?3lnx?12?ln(1?sinx)?ln(1?cosx)?
两边关于x求导得，131?cosxyy??x?2??1?sinx?sinx?1?cosx??
即y????3?x?1?cosxsinx??31?sinx2??1?sinx?1?cosx?????x1?cosx. 48.
解: 设x?tant，则dx?sec2tdt 原式??1tan2tsectsec2tdt??secttan2tdt??cost1sin2tdt??sin2tdsint ??11?sintC??x2?x?C 49.
解: ?2f(x?1)dx??2u?x?100f(x?1)d(x?1)??1?1f(u)du
??01?11?eudu??1101?udu??01?eu?eu?11?eudu?21?u10 0 ???u?ln(1?eu)???1?2(2?1)?ln(1?e)?ln2?2(2?1). 50.
解: 令2x?y2?u,ysinx?v,则z?f(u,v),
dz?df(u,v)?fu?du?fv?dv?fu?d(2x?y2)?fv?d(ysinx)
?fu?[2dx?2ydy]?fv?[sinxdy?ycosxdx]
?[2fu??fv?ycosx]dx?[fv?sinx?2yfu?]dy
所以?z?z?x?2fu??fv?ycosx, ?y?fv?sinx?2yfu?. 51.
y 解：积分区域如图所示：
看作X型区域，有
D??(x,y)|0?x??,0?y?sinx?
所以
??(x?y2)d???sinx(x?y2)dy
x
oD?0dx?0 ? =??0(xsinx?1?1?3sin3x)dx??0xsinxdx?3?0sin3xd ????0xdcosx?13??0(cos2x?1)dcosx???xcosx??0??cosxdx?1103(3cos3x?cosx)
0???sinx?1?11?40?3??(?3?1)?(3?1)?????9.52．
解：令x?2?t，则f(x)?11116?x?8?t?8， 1?t8?因为
1?1?x??xnx?(?1,1)，所以
1?n?01?t?1ntnt?(?8,8)
n?088故f(x)?11?8??1tn??1?(?10,6)。
1?tn?08n?1?n?08n?1(x?2)nt853．
解: 方程可化为y??2xy?2xe?x2，这是一阶线性非齐次微分方程，它对应齐次微分方程为y??2xy?0，其通解为y?Ce?x2.
设非齐次微分方程的解为y?C(x)e?x2，则 代入方程得：C?(x)e?x2?2xe?x2，即C?(x)?2x， 所以C(x)?x2?C.
故原方程的通解为y?e?x(x2?C).
2四、应用题（每题7分，共计14分）
54.
解：设每件服装的零售价为x元，获得的利润为y元，由题意可得
y?[100?(60?x)?10]?(x?40)，40?x?60，
1 ?2?(x?x4)??。
2024五、证明题（6分）
56．
?11?,?上函数满足拉格朗日定理证明:构造函数f(x)?ax,显然在区间??n?1n?即 y??10x2?1100x?28000，40?x?60；
而y???20x?1100，令y??0得唯一驻点x?55，此时有y????20?0，故
的条件，即
?1?f????n?1??1??1?f??alna???? ?n?1??nn?1?1n?1x?55是极大值点，即为最大值点.
故 每件服装零售价55元，每天从工厂应批发100?(60?55)?10?150件，可获得最大利润，最大利润是150?(55?40)?2250元.
55．
解:平面图形D如图所示: 两条曲线的交点为和， （-1，1）（1，1）图形关于y轴对称。
把D看作X型区域,且x?[0,1]. (1) 平面图形D的面积为
y?2?x2 o 1 即有
a?alna1n?11n?a?1n111???， ,其中
n?1nn(n?1)1n?1所以
aa?a?(n?1)2lna?an21n(a?1,n?1)成立。
y 2 y?x2 x
228S?2?(2?x?x)dx?2(2x?x3)?2(2?)?。
033301221（2）平面图形D绕y轴旋转一周所生成旋转体的体积为
V????ydy???01?101212??1122?(2?y)dy???y?(2y?y)???. ??2?20?1??1或V?2??x(2?x2?x2)dx?2??(2x?2x3)dx
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云飞专升本精讲班第二次摸底考试答案
