双曲线
1.PF1?PF2?2a
x2y22.标准方程2?2?1
ab3.
PF1?e?1 d14．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
5．PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.
6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
8．设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.
x2y29．双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1
abx2y2与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.
abxxyyx2y210．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是02?02?1.
ababx2y211．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦
abP1P2的直线方程是
x0xy0y?2?1. a2bb2x2y212．AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则kOM?kAB?2.
aabx0xy0yx02y02x2y213．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2?2?2?2.
abababx2y2x0xy0yx2y214．若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2?2.
abababx2y2111115．若PQ是双曲线2?2?1（b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则2?2?2?2(r1?|OP|,r2?|OQ|).
r1r2abab
1
x2y216．若双曲线2?2?1（b＞a ＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax?By?1(AB?0),则(1)
ab112a4A2?b4B222. ?2?A?B;(2) L?22222ab|aA?bB|a2?b2ab)2,则(i)对C1上任意给定的17．给定双曲线C1：bx?ay?ab（a＞b＞0）, C2：bx?ay?(22a?b2222222222a2?b2a2?b2x,?22y0). 点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M(220a?ba?b(ii)对C2上任一点P(x0,y0)在C1上存在唯一的点M',使得M'的任一直角弦都经过P'点.
'''x2y218．设P(x0,y0)为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1, PP2斜率存在，记为
ab1?mb2?. k1, k 2, 则直线P1P2通过定点M(mx0,?my0)(m?1)的充要条件是k1?k2?1?ma2x2y219．过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则
ab直线BC有定向且kBCb2x0??2（常数）.
ay0x2y220．双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，则双曲
ab线的焦点角形的面积为S?F1PF2a2b2?22?c?bcot,?cot) . ?bcot，P(?c2c222?x2y221．若P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??,
ab?PF2F1??，则
c?a??c?a???tancot（或?tancot）. c?a22c?a22x2y222．双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：F1(?c,0) , F2(c,0)
ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a. 当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a.
x2y223．若双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤2?1时，可在双
ab曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.
2
x2y224．P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则
ab|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.
x2y225．双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线l：y?k(x?x0)对称的充要条件是
ab(a2?b2)2?a?x0?2k?0且k????.
a?b2k2?b?226．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
?x?asec?1228．P是双曲线?（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e?. 21?tan?y?btan??x2y2x2y229．设A,B为双曲线2?2?k（a＞0,b＞0，k?0,k?1）上两点，其直线AB与双曲线2?2?1相交于P,Q,
abab则AP?BQ.
x2y230．在双曲线2?2?1中，定长为2m（m?0）的弦中点轨迹方程为
ab???x2y2??2ay2221??acosht?bsinht,cotht??,x?0时t?0，弦两端点在两支上????22???bx???ab??2 m??22bx???xy??2222??1asinht?bcosht，cotht??,y?0时t?0，弦两端点在同支上??????a2b2?ay?????x2y231．设S为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，
abM(x0,y0)是AB中点，则当l??S时，有(x0)mina2lc(c2?a2?b2,e?);当l??S时，有??c2ea(x0)min?a4b2?l2. 2bx2y22222232．双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是Aa?Bb?C.
ab(x?x0)2(y?y0)2??1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是33．双曲线
a2b2A2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2.
3
x2y234．设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2
ab中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e.
?(sin??sin?)ax2y235．经过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和
abP2，则|P1A1|?|P2A2|?b.
2x2y236．已知双曲线2?2?1（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP?OQ.（1）
ab222211114abab2+|OQ|2的最小值为S???;（2）|OP|;（3）的最小值是. ?OPQ|OP|2|OQ|2a2b2b2?a2b2?a2x2y237．MN是经过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于
abMN的弦，则|AB|?2a|MN|.
2x2y238．MN是经过双曲线2?2?1（a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP?MN，
ab则
2111???.
a|MN||OP|2b2a2x2y239．设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与
aba2双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的交点N在直线l：x?上.
m40．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
41．过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y2'42．设双曲线方程2?2?1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y?kx的共轭直线y?kx上,而且
abb2kk?2.
a'
4
x2y243．设A、B、C、D为双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为?,?，直线AB
ab|PA|?|PB|b2cos2??a2sin2??与CD相交于P,且P不在双曲线上,则.
|PC|?|PD|b2cos2??a2sin2?x2y244．已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,点P为其上一点F1, F 2为双曲线的焦点，?F1PF2的内（外）角平分线
ab为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是
222?ay?bx?x?c??222??). 22x?y?a(cy?2a2y2?b2?x?c?245．设△ABC三顶点分别在双曲线?上，且AB为?的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与双曲线?相切的充要条件是D为EF的中点.
x2y246．过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交
abx轴于P，则
|PF|e?.
|MN|2x2y2b2x147．设A（x1 ,y1）是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为2的直线L，又设d是原点
abay1到直线 L的距离, r1,r2分别是A到双曲线两焦点的距离，则rr12d?ab.
x2y2x2y248．已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）和2?2??（0???1 ），一条直线顺次与它们相交于A、B、C、
ababD四点，则│AB│=|CD│.
x2y249．已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),
aba2?b2a2?b2则x0?或x0??.
aax2y250．设P点是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则
ab2b2?2(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?bcot.
1?cos?251．设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和
a2?n?m?a?moAQ分别交相应于过B点的直线MN：x?n于M，N两点,则?MBN?90?. ??2a?mb(n?a)22 5
高中数学 - 双曲线二级结论大全
