2014-2015 概率论与数理统计试卷 A参考答案

由天下分享时间：2024/12/23 18:30:28 加入收藏我要投稿点赞

…………… … … … … … … … … … 线 :…业…专…级年…… … … … … … … … … :别…系 …) 题封 … 答… 不… 内… 线… … 封… 密… (… … … :号…学… … … … … … 密 … …:名…姓……………………………… 东莞理工学院（本科）试卷（A卷）

2014 --2015 学年第一学期

《概率论与数理统计》评分标准

开课单位：计算机学院数学教研室，考试形式：闭卷，允许带计算器入场

题序一二三四总分得分评卷人一、选择题（每小题2分，共30分）

1．设A,B为两个相互独立的随机事件，且P(A)?0.6,P(B)?0.5，则必有P(AB)?【 B 】;

(A) 0.6 (B) 0.3 (C)0.2 (D) 0.1

2．袋中共有6只球,其中4只白球,2只红球.从中抽取两只,如果作不放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为【 B 】;

(A) 7/15 (B) 8/15 (C) 5/9 (D) 4/9

3．在区间[0,1]上任取三个数,则这三个数之和小于1的概率为【 C 】;

(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/6 (D) 1/24

4.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0

(A) 3p(1?p)2． (B) 6p(1?p)2.

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

6．抛掷两颗骰子,用X和Y分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为【 B 】； (A) 4/36 (B) 5/36 (C) 6/36 (D) 7/36 7．随机变量X的期望和方差分别表示X取值的【 A 】;

A．平均值，离散程度 B．平均值，平均程度 C．绝对值，离散程度 D．相对值，平均程度

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?k(x?x2),0?x?18. 设随机变量X的概率密度为f?x???，则常数k= 【 D 】

0, 其它?(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6. 9. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，对于任意实数x有【 C 】

(A)0?F(x)?1；（B）0?f(x)?1； (C)0?F(x)?1； (D)0?f(x)?1

10. 设X与Y为任意二个随机变量，若已知?XY?0,则必有【 D 】 (A) X与Y相互独立； (B) X与Y不独立； (C) X与Y相关； (D) X与Y不相关.

11.设相互独立的随机变量X和Y的方差都是1，则随机变量5X?2Y的方差是【 D 】

A．3

12．已知随机变量X与Y相互独立，且X~?2(10)，Y~?2(20),则2X/Y服从分布【 D 】; (A)

B．7

C．21

D．29

F(9,29) (B) F(19,9) (C) F(20,10)

(D)

F(10,20)

13.设总体XN(?,?2),参数?2已知, ?未知,X1,X2,,Xn是来自总体X的样本,

则?的极大似然估计量为【 B 】; (A)

???13?X (B) ???X ??X (C)

22 (D)

??2X ?14. 设X1,X2,X3,X4是来自均值为?的指数分布总体的样本，其中?未知，则下列估计量中最有效的?的无偏估计的为【 D】；

1(X1?X2) 411C. T3?(X1?X2?X3) D. T4?(X1?X2?X3?X4)

34A. T1?X1 B. T2?15．单个正态总体的方差未知时,均值的假设检验中选择的检验统计量为【 B】. (A)

Z?X??0?/n2?0 (B) t?X??0

S/n

(C)

?2?(n?1)S2 (D)

S12F?2S2

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…………… … … … … … … … … … 线 :…业…专…级年…… … … … … … … … … :别…系 …) 题封 … 答… 不… 内… 线… … 封… 密… (… … … :号…学… … … … … … 密 … …名:…姓………………………二、填空题（每空2分，共30分）

1. 设A,B为两个随机事件，且P(A)?0,P(AB)?P(B)，

则必有P(B|A)? 1 .

2. 掷两颗骰子,则两颗骰子点数不同的概率为_5/6__．

3. 在一次试验中，事件A发生的概率为0.5，现进行3次独立重复试验，则A不发生的概

率为 0.125 .

4. 已知随机变量XB(100,0，且随机变量Y?2X?1，则E?Y?? ______21____,D?Y?? ______72__．

5. 设随机变量X的密度函数为f?x????3x2,0?x?1，则P??X?1??? 1/8 ?0,其它?2? ;又设

用Y表示对X的2次独立重复观察中事件??1??X?2??出现的次数，则P?Y?1?? 732 .

6. 设二维随机变量?X,Y?的分布列为

Y X 0 1 0 0.3 0.2 1 a 0.1 则a? 0.4 ,E(Y)? 0.3 .

7. 设X1,X2,,X10是取自总体N(0,1)的样本，则统计量

Y?X22?21?X2?X5服从_____?2(5)__分布, T?X221?X2??X25X2?X2?X2服从_____F(5,5)__分布. 67?108. 设X1,...,X10及Y1,...,Y20分别是总体N(10,10)的容量为10，20的两个独立样本，

X,Y分别为样本均值，S221,S2分别为样本方差.则：X~ N(10,1) ，X?Y~ N(0,3/2) ，p?X?Y?21.5?= 0.0456 ，

19S22102~?(19). 此题中?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.9987

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三、计算题（共18分）

1．（10分）设随机向量(X,Y)的密度函数为：

?2x,0?x?1,0?y?1,f(x,y)??

0,其它.?（1）求分量X和Y的密度函数fX(x)及fY(y);（4分）

（2）求概率P?X?Y?1（2分） ?；（3）求E(X),D(X).（4分）

解令D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1},G?{(x,y)|0?x?1,0?y?1?x}.

（1）当x?0或x?1时,fX(x)?当0?x?1时,fX(x)?因此, fX(x)???????1f(x,y)dy?0,

?????f(x,y)dy??2xdy?2x.

0?2x,0?x?1, (2分)

0,其它.?时,fY(y)?当y?0或y?1当0?y?1时,fY(y)?因此, fY(y)???????f(x,y)dx?0,

10?????f(x,y)dx??2xdx?1.

?1,0?y?1, (2分)

?0,其它. （2）P?X?Y?1?? （3）E(X)?或 E(X)?2??Gf(x,y)dxdy??2xdx?011?x011dx??2(x?x2)dy?; (2分)

032xf(x,y)dxdy? ??3D?????2xfX(x)dx??2x2dx?; (2分)

0311E(X)???xf(x,y)dxdy??2xdx?dy?.

2R002311或 E(X)?1123xf(x)dx?2xdx?; ( 1分) ???X?02141D(X)?E(X2)?[E(X)]2???. (1分)

29182??2．(8分)设总体X的密度函数为

??x??1, 0?x?1; f?x;????

.?0, 其它其中????0?为待估参数，设X1,X2,,Xn是取自X的一个样本，求?的矩估计量与最

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大似然估计量．

解总体X的一阶原点矩为

?1?E?X???x?x??1dx?01???1，(2分)

令A1??1，可求得参数?的矩估计量为??设x1,x2,A1X．(2分) ?1?A11?X,xn是一个样本值，则似然函数为

L????对数似然函数为

??xi?1n??1i??n?x?ii?1n?1 ，

lnL????nln??(??1)?lnxi?1ni，(2分)

??对参数?求导??lnL?????，并令??lnL??????0得

n?n??lnxi?0，

i?1n解此方程得???n?lnx．

ii?1所以，参数?的最大似然估计量为???n?lnXi?1ni. (2分)

四、应用题（共22分）

1.（8分）已知一批产品中有95％是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率是0.01，求：（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率. 解：(1)设A表示抽得的产品的合格品, B表示抽得的产品被判为合格品,则

P(A)?0.95,P(B|A)?0.02,P(B|A)?0.01.(1分)

由全概率公式，得

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)(1分)(2分)

?0.95?(1?0.02)?(1?0.95)?0.01?0.9315;(2)P(A|B)?

P(AB)P(A)P(B|A)0.931???0.9995. (4分) P(B)P(B)0.9315概率论与数理统计考试卷第 5 页共 6 页 5

2．(14分)由经验知道某零件重量XN(?,?2)，其中?,?2均未知，抽查25个样品，

测量其重量,得样本均值的观察值x?18(单位:g),样本标准差的观察值s?0.8. 1）求零件重量的置信度为0.95的置信区间；（6分）

2）在显著性水平为??0.05时，试问重量的方差?是否为0.3．(8分）

( z0.05?1.645, z0.025?1.96, t0.05?24??1.7109, t0.025?24??2.0639

2222?0.975(24)?12.401,?0.95(24)?13.848，?0.025(24)?39.364,?0.05(24)?36.415)

解 1)查表 t0.025(24)?2.0639 ,得?的置信度为0.95的置信区间为

??ssx?t(24),x?t(24)?? (3分) ??252252??0.80.8????18??2.0639,18??2.0639??(17.67,18.33).