2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（4）
文科数学
本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知命题p:?1?x?2，q:log2x?1，则p是q成立的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分有不必要 D．充要
【答案】B
【解析】q:log2x?1?0?x?2，因为?0,2????1,2?，所以p是q成立的必要不充分条件，选B．
2．已知复数z1?1?ai，z2?3?2i，a?R，i是虚数单位，若z1?z2是实数，则a?（ ）
A．?23
B．?13
C．13
D．
23 【答案】A
【解析】复数z1?1?ai，z2?3?2i，
z1?z2??1?ai??3?2i??3?2i?3ai?2a??3?2a???2?3a?i． 若z1?z2是实数，则2?3a?0，解得a??23．故选A． 3．下列函数中既是偶函数又在?0,???上单调递增的函数是（ ）
A．f?x??2x?2?x B．f?x??x2?1
C．f?x??log1x D．f?x??xsinx
2【答案】B
【解析】A是奇函数，故不满足条件；B是偶函数，且在?0,???上单调递增，故满足条件；C是偶函数，在?0,???上单调递减，不满足条件；D是偶函数但是在?0,???上
第
不单调．故答案为B．
4．已知变量x，y之间满足线性相关关系y??1.3x?1，且x，y之间的相关数据如下表所示：
x 1 2 3 4 y 0.1 m 3.1 4 则m?（ ） A．0.8 B．1.8 C．0.6 D．1.6
【答案】B
【解析】由题意，x?2.5，代入线性回归方程为y??1.3x?1，可得y?2.25， ?0.1?m?3.1?4?4?2.25，?m?1.8，故选B．
?x?y≥05．若变量x，y满足约束条件??x?y≥0?，则3x?2y的最大值是（ ）
?3x?y?4≤0A．0 B．2 C．5 D．6
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点A?1,1?处取得最大值，
zmax?3x?2y?3?1?2?1?5．本题选C．
6．已知等差数列?a?an?的公差和首项都不为0，且a1、a2、aa4成等比数列，则114a?3（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解析】由a2a221、a2、a4成等比数列得a2?a1a4，??1?d??a1?a1?3d?，?d?a1d，
d?0，?d?a1，a1?a14a1?a1?13da??15a1?5，选C． 3a1?2d3a17．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，
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1
若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ） A．58 B．59
C．60
D．61
【答案】C
【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60． 故选C．
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A．2?42?23 B．2?22?43 C．2?63 D．8?42
【答案】A
【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥P?ABC，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为
2，表面积为
S?S△ABC?S△PBC?S△PAC?S△PAB?2?22?22?23?2?42?23，故选A．
9．若函数f?x??3sin?2x????cos?2x???(0???π)的图象经过点??π?2,0???，则（ ）
A．f?x?在??π?B．f?x?在??π3π?0,2??上单调递减
?4,?4??上单调递减
C．f?x?在??π??0,2??上单调递增
D．f?x?在??π3π?4,?4??上单调递增
【答案】D
【解析】由题意得f?x??3sin?2x????cos?2x????2sin??π??2x???6??，
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∵函数f?x?的图象经过点??π,0??，∴f??π??2???2sin???2?ππ??π??2?2???6????2sin????6???0，
又0???π，∴??5π6，∴f?x???2sin2x． 对于选项A，C，当x????0,π?2??时，2x??0,π?，故函数不单调，A，C不正确；
对于选项B，D，当x???π3π??π3π??4,4??时，2x???2,2??，函数f?x?单调递增，故D正确．
选D．
10．已知A，B是函数y?2x的图象上的相异两点，若点A，B到直线y?1
2
的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（ ） A．???,?1? B．???,?2?
C．??1,???
D．??2,???
【答案】B
【解析】设A?a,2a?，B?b,2b?，则2a?12?2b?12，因为a?b，所以2a?2b?1，由基本不等式有2a?2b?2?2a?b，故2?2a?b?1，所以a?b??2，选B．
11．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，2，a，且长为a的棱与长为
2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A．
212 B．
312 C．26 D．36 【答案】A
【解析】如图所示，三棱锥A?BCD中，AD?a，BC?2，AB?AC?BD?CD?1，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD看作底面，则当平面ABC?平面BCD时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h?22，△BCD是等腰直角三角形，则S1△BCD?2，综上可得，三棱锥的体积的最大值为13?12?22?212．本题选择A选
项．
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x2y212．已知双曲线a2?b2?1(a?0,b?0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，A，B为
其左右顶点，以线段F1，F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且?MAB?30?，则双曲线的离心率为（ ）
A．21
B．212
C．193
D．1932
【答案】B
【解析】双曲线x2y2ba2?b2?1的渐近线方程为y??ax，以F1，F2为直径的圆的方程为
x2?y2?c2，将直线y?bx代入圆的方程，可得：x?acaa2?b2?a（负的舍去），
y?b，即有M?a，b?，又A??a，0?，?MAB?30?，则直线AM的斜率k?33，又
k?b2a，则3b2?4a2?3?c2?a2?，即有3c2?7a2，则离心率e?c21a?3，故选B． 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2ccosB?2a?b，则?C?_________． 【答案】120?
【解析】∵2ccosB?2a?b，∴2c?a2?c2?b22ac?2a?b，即a2?b2?c2??ab， ∴cosC?a2?b2?c22ab??12，∴C?120?． 14．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．
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【答案】
138 【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当x?1，y?1时，
z?x?y?2?20，x?1，y?2，运算程序依次继续：z?x?y?3?20，x?2，y?3；z?x?y?5?20，x?3，y?5；z?x?y?8?20，x?5，y?8；z?x?y?13?20，x?8，y?13；z?x?y?21?20，yx?138运算程序结束，输出138，应填答案138． 15．在△ABC中，CA?2CB?2，CA?CB??1，O是△ABC的外心，若
CO?xCA?yCB，则x?y?______________．
【答案】
136 【解析】由题意可得：?CAB?120?，CA?2，CB?1，则：
CO?CA??xCA?yCB??CA?xCA2?yCB?CA?4x?y， CO?CB??xCA?yCB??CB?xCA?CB?yCB2??x?y，
如图所示，作OE?BC?E，OD?AC?D， 则CO?CA?12CA2?2，CO?CB?1212CB?2， ??5综上有：?4x?y?2???x????x?y?1，求解方程组可得：?6，故x?y?13． 2???y?46316．已知函数f?x?满足f?x??f?2x?，且当x??1,2?时f?x??lnx．若在区间?1,4?内，
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函数g?x??f?x??2ax有两个不同零点，则a的范围为__________．
【答案】??ln2??0,8?? 【解析】
f?x??f?2x?，?f?x??f??x?x?2??，当x??2,4?时，2??1,2?；
f?x??f???x??2???lnx?lnx,x??1，2?2?lnx?ln2，故函数f?x?????lnx?ln2,x??2，4?，
作函数f?x?与y?2ax的图象如下，
过点?4,ln2?时，2a?ln24，?a?ln28，y?lnx?ln2，y??1lnx?ln2x；故x?1x，故x?2e>4，故实数a的取值范围是??ln2??0,8??．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知在△ABC中，2B?A?C，且c?2a． （1）求角A，B，C的大小；
（2）设数列?ann?满足an?2cosnC，前n项和为Sn，若Sn?20，求n的值．
【答案】（1）A?π6，B?π3，C?π2；（2）n?4或n?5． 【解析】（1）由已知2B?A?C，又A?B?C?π，所以B?π3．又由c?2a， 所以b2?a2?4a2?2a?acosπ2223?3a2，所以c?a?b，
所以△ABC为直角三角形，C?π2，A?π2?π3?π6． 第 4 页，
（2）an?2ncosnC?2ncosnπ2????0,n为奇数??2n,n为偶数． 所以S242k??k?2?4n?S2k?1?S2k?0?2?0?2?????0?2?41?22k1?4?223，k?N*，
由S22k?2?42k?2n?3?20，得2?64，所以2k?2?6，所以k?2，所以n?4或n?5． 18．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：
（1）求m的值及这50名同学数学成绩的平均数x；
（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在?130,140?的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知成绩在?130,140?的同学中男女比例为2：1，求至少有一名女生参加座谈的概率．
【答案】（1）m?0.008，x?121.8；（2）P?A??45． 【解析】（1）由题?0.004?0.012?0.024?0.04?0.012?m??10?1，解得m?0.008，
x?95?0.004?10?105?0.012?10?115?0.024?10?125?0.04?10? 135?0.012?10?145?0.008?10?121.8．
（2）由频率分布直方图可知，成绩在?130,140?的同学有0.012?10?50?6（人）， 由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为A、B、C、D；女生分别为x、y， 则从6名同学中选出3人的所有可能如下：ABC、ABD、ABx、ABy、ACD、ACx、ACy、ADx、ADy、BCD、BCx、BCy、BDx、BDy、CDx、CDy、Axy、Bxy、Cxy、Dxy——共20种，其中不含女生的有4种ABC、ABD、ACD、BCD；
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设：至少有一名女生参加座谈为事件A，则P?A??1?420?45． 19．如图，四棱锥V?ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，E为AB的中点．
（1）在侧棱VC上找一点F，使BF∥平面VDE，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下求三棱锥E?BDF的体积． 【答案】（1）见解析；（2）V3E?BDF?6． 【解析】（1）F为VC的中点． 取CD的中点为H，连BH、HF，
ABCD为正方形，E为AB的中点，?BE平行且等于DH，?BH//DE， 又FH//VD，?平面BHF//平面VDE，?BF//平面VDE． （2）F为VC的中点，S1△BDE?4S1正方形ABCD，?VE?BDF?VF?BDE?8VV?ABCD，
V?ABCD为正四棱锥，?V在平面ABCD的射影为AC的中点O，
VA?5，AO?2，?VO?3，?V?13?22?3?433，?V3V?ABCDE?BDF?6． ．已知椭圆C：x2y22061a2?b2?1 (a?b?0)的离心率为3，焦距为42，抛物线C2：
x2?2py(p?0)的焦点F是椭圆C1的顶点．
（1）求C1与C2的标准方程；
（2）C1上不同于F的两点P，Q满足FP?FQ?0，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．
【答案】（1）x2y212?4?1，x2?8y；（2）1835．
【解析】（1）设椭圆Cc1的焦距为2c，依题意有2c?42，
a?63， 22解得a?23，b?2，故椭圆Cx1的标准方程为
12?y4?1． 第 5 页，
又抛物线C2：x2?2py(p?0)开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，?F?0,2?，
?p?4，故抛物线C2的标准方程为x2?8y．
（2）显然，直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y?kx?m，设P?x1,y1?，
Q?x2,y2?，则FP??x1,y1?2?，FQ??x2,y2?2?， ?FP?FQ?x1x2?y1y2?2?y1?y2??4?0，
即?1?k2?x1x2??km?2k??x1?x2??m2?4m?4?0?*?，
?联立?y?kx?m??x2y2?1，消去y整理得，?3k2?1?x2?6kmx?3m2?12?0?**?．
?12?4依题意x2m21，x2，是方程?**?的两根，??144k?12?48?0，
?6km3m2?x?121?x2?3k2?1，x1?x2?3k2?1， 将x?x21?x2和x12代入?*?得m?m?2?0，
解得m??1，（m?2不合题意，应舍去）
联立??y?kx?1?x?8y，消去y整理得，x22?8kx?8?0，
令???64k2?32?0，解得k2?12．经检验，k2?12，m??1符合要求．
此时，x721?x2??x1?x2?2?4x1x2?25?4??18?123??5???5， ?S1183△FPQ?2?3?x1?x2?5．
21．设函数f?x??21?x2?x?R?． （1）求证：f?x?≥?x2?x?1；
（2）当x???1,0?时，函数f?x?≥ax?2恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）a≥1． 【解析】（1）原不等式等价于x4?x3?x?1≥0，设g?x??x4?x3?x?1， 共 7 页
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(4)（文科数学含答案详解）
