微专题八 基本不等式的向量形式
[思维扩展]
波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．
我们知道，a＋b≥2ab(a，b∈R)以及
2
2
a＋b2
≥ab(a，b∈R＋)是两个应用广泛的基本不
等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？
由(a－b)＝|a－b|≥0不难得到a＋b≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立． 但将
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2
2
2
a＋b2
≥ab(a，b∈R＋)简单地类比为
a＋b2
≥a·b就不行了，由于该不等式左边为
向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．
注意到
a＋b2
≥ab(a，b∈R＋)??
?a＋b?2≥ab(a，b∈R)，而不等式?a＋b?2≥a·b左右
?＋?2??2???
2
2
2
两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a＋b)＝(a－b)＋4a·b＝|a－b|＋4a·b≥4a·b可得?
?a＋b?2≥a·b，当且仅当a＝b时等号成立．
??2?
2
2
这样，我们就得到如下两个结论：
定理1 设a，b是两个向量，则a＋b≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立． 定理2 设a，b是两个向量，则?
?a＋b?2≥a·b，当且仅当a＝b时等号成立．
??2?
例1 若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________． 9
答案 － 8
解析 方法一 由定理1得 3≥|2a－b|＝(2a－b) ＝(－2a)＋b－4a·b
≥2·(－2a·b)－4a·b＝－8a·b，
9
所以a·b≥－，当且仅当b＝－2a时等号成立，
89
故a·b的最小值是－. 8方法二 由定理2得
2
2
2
2
2
?2a－b?2＝|2a－b|≤9，
2a·(－b)≤??44?2?
2
1
9
则a·b≥－，当且仅当b＝－2a时等号成立．
89
故a·b的最小值是－. 8
说明 本题可推广至一般形式：若平面向量a，b满足：|λa＋b|≤m(m>0)，则当λ>0时，
m2m2
a·b的最大值为；当λ<0时，a·b的最小值为.
4λ4λ例2 已知a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的最小值为________． 分析 此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理1此题极易作答，过程如下． 1
答案
2
解析 引入正参数λ，
由(a＋b)·(a－2b)＝0得a－a·b－2b＝0，又|a|＝1，则1－2b＝a·b， 12?1?22
1－2b＝a·b≤?λa＋b?
λ?2?112
＝(λ＋b)， 2λ12222
当且仅当λa＝b，即b＝λ时等号成立．
2
2
2
λ12?1?22
所以1－2λ＝a·b≤?λa＋b?
λ?2?11?2?
＝?λ＋·λ?，
λ2??1
解得λ＝|b|≥，
21
故|b|的最小值为.
2
例3 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，求|c|的最大值．
解 由(a－c)·(b－c)＝0得c＝c·(a＋b)， 由定理1及已知条件得
2
c2＝c·(a＋b)≤[c2＋(a＋b)2]
121222
＝(c＋a＋b)＝(c＋2)， 22解得|c|≤2，故|c|的最大值是2.
拓展1 已知a，b是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，
2
1
2
2
1
则|c|的最大值是. θcos
2
拓展2 已知a，b是平面内两个互相垂直的向量，且|a|＝m，|b|＝n，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是m＋n.
1→→→2
例4 平面上三点A，B，C满足AB·BC>0，求AC＋的最小值．
→→AB·BC→?1→→→?→AB＋BC解 由定理2得0 2 AC＋≥AC＋ →→→2AB·BCAC2 2 1 → 4 42→2→＝|AC|＋≥2·|AC|·＝4， →2→|AC||AC| 1→→→→2 故当且仅当AB＝BC，且|AC|＝2时，AC＋取得最小值4. →→AB·BC例5 设a，b满足a＋a·b＋b＝3，求a－a·b＋b的取值范围． 解 由定理1得a·b≤ 2 2 2 2 a2＋b2 2 ， 3－a·b所以a·b≤， 2解得a·b≤1. ?－a?＋b又由定理1得(－a)·b≤， 2所以a·b≥－ 2 2 a2＋b2 23－a·b＝－，解得a·b≥－3. 2 所以－3≤a·b≤1. 因为a－a·b＋b＝(3－a·b)－a·b＝3－2a·b，所以1≤a－a·b＋b≤9. 以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考． 2 2 2 2 3
（鲁京津琼专用）2024版高考数学大一轮复习第七章不等式微专题八基本不等式的向量形式教案（含解析）
