几个重要不等式及其应用
一、几个重要不等式
以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。 1、算术-几何平均值（AM-GM）不等式
设a1,a2,?,an是非负实数，则2、柯西（Cauchy）不等式
a1?a2???ann?a1a2?an.
n2?n2??n2??n?设ai,bi?R(i?1,2,?n)，则??ai???bi????aibi?.等号成立当且仅当存在??R，使
?i?1??i?1??i?1?bi??ai,i?1,2,?n, .?n???ai?2na?i?1?；等号成立当且仅当存在??R，
变形（Ⅰ）：设ai?R,bi?R?，则?i?ni?1bi?bii?12使bi??ai,i?1,2,?,n.
?n???ai?na?i?1?。等号成立当且仅当b?b???b
变形（Ⅱ）设ai,bi同号，且ai,bi?0，则?i?n12ni?1bi?aibii?123．排序不等式
设a1?a2???an,b1?b2???bn,j1,j2,?,jn是1,2,?,n的一个排列，则
a1bn?a2bn?1???anb1?a1bj1?a2bj2???a3bjn?a1b1?a2b2??anbn. 等号成立当且仅当
（用调整法证明）. a1?a2???an或b1?b2???bn。4．琴生（Jensen）不等式
若f?x?是区间?a,b?上的凸函数，则对任意的点x1,x2,?,xn??a,b?(n?N)有
*f(x1?x2???xn1)??f?x1??f?x2????f?xn??（用?.等号当且仅当x1?x2???xn时取得。nn?归纳法证明）
二、进一步的结论
运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到
的效果。
1. 幂均值不等式
?设????0，ai?R(i?1,2,?,n)，则
1?a1?a2???anM????n??????a?a2???an???1??n?????11?????M?。 ??证：作变量代换，令ai?xi，则ai?xi，则
???1???M??M???x1?x2???xn?n??????x1?x2???xn???????????0??1，又函数① ，?????n???f(x)?xp(p?1)是?0,???上的凸函数，由Jensen不等式知①式成立。
2.（切比雪夫不等式）
设两个实数组a1?a2???an,b1?b2???bn，则
1?a1bn?a2bn?1???anb1??n?a?bii?1nnin?i?1n?1?a1b1?a2b2???anbn? n等号成立当且仅当a1?a2???an或b1?b2???bn。 证：由排序不等式有：
a1bn?a2bn?1???anb1?a1b1?a2b2???anbn?a1b1?a2b2???anbn， a1bn?a2bn?1???anb1?a1b2?a2b3???anb1?a1b1?a2b2???anbn，
……………………………………………………………………………
a1bn?a2bn?1???anb1?a1bn?a2b1???anbn?1?a1b1?a2b2???anbn
以上n个等式相加即得。 3. 一个基础关系式
x?y1????x?(1??)y，其中x,y?0,??[0,1]
证：若x,y中有一个为0，则显然成立。
??x??x?x???????1???t设x,y均不为零，则原不等式??，令，则上式?t??t?(1??)，记?y??y?y????f(t)??t?(1??)?t?，则f?(t)????t??1，因此，当t?1时，f?(t)?0，当0?t?1时，f?(t)?0，
??1??且f?(1)?0，所以f(t)得极小值为f(1)?0,故?t?(1??)?t?0，即xy??x?(1??)y.
4. Holder不等式
设ak,bk?0(k?1,2,?n),p,q?1且
11??1，则 pq
?p??q?ab?ab??????kkkk?
k?1?k?1??k?1?q等号成立当且仅当存在t?R使得akp?tbk(k?1,2,?,n)。
nn1pn1q证: 在上面基础关系式中，取??n111,x?Akp,y?Bkq,有AkBk?Akp?Bkq……① ppqak?np???ak??k?1?1p1np1nq① 式两边对k求和，得：?AkBk??Ak??Bk,令Ak?pk?1qk?1k?1,Bk?bk?nq???bk??k?1?1q,
代入上式即证。 5. 一个有用的结论
设ai,bi?R，则
??(ai?1ni?bi)??a??b，推广得
i?1i?11nn1nin1ni设aij?R,(i?1,2,?,n,j?1,2,?,n)，则
nn??(?ai?1j?11nnnij)??(?aij).
j?1i?11nnn1n证：原不等式?n?(?aj?1i?11naiji1?ai2???ain)?1,
aij1n而(?)?(?)
ni?1ai1?ai2???aini?1ai1?ai2??ainaij1nn??(?)??(?)nj?1i?1ai1?ai2???ainj?1i?1ai1?ai2???ainnnaijaij1naij1nn1n1??(?)??1??n?1,它可把含根式的积性不等式化为和式。 ni?1j?1ai1?ai2???ainni?1n三、如何运用几个重要不等式
222333?例1 设a,b,c?R且abc?1，求证：a?b?c?a?b?c。
证：由柯西不等式有(a?b?c)(a?b?c)?(a?b?c)…①
而3(a?b?c)?(1?1?1)(a?b?c)?(a?b?c)?(a?b?c)?33abc
22222222223332222?3(a?b?c)，即a2?b2?c2?a?b?c…②
333222由①②有：(a?b?c)(a?b?c)?(a?b?c)(a?b?c),∴a?b?c?a?b?c
222333方法二：由幂均值不等式有：
a2?b2?c2a2?b2?c22a2?b2?c22)(a?b?c?3()?3()
33333331?33a2b2c2?(a?b?c)??3?222???a2?b2?c2。 ??12方法三：由切比雪夫不等式和AM-GM不等式有：不妨设a?b?c，则
(a2?b2?c2)(a?b?c)(a2?b2?c2)?33abca?b?c???a2?b2?c2
33333例2 设xi?0,(i?1,2,?,n),n?xi?1ni?1，求证：?i?1nxi?1?xi?i?1nxi
n?1证：左边=
?i?1n1??1?xi?1?xii?1n2?i?1n1?xi12??1?xi
i?1n?n2(?1)(?(1?xi))i?1i?1n12n12?(?1)(?(1?xi))
i?1i?1n12nnn??n(n?1)??n(n?1)n?12?xi?(12???1)n?12??i?1nxi。
n?1评注：通过此例注意体会如何运用柯西不等式分离或合成变量。 例3 设a,b,c,d?R?,abcd?1，求证：
1?a(b?1)?2
证：设a?xyzw,b?,c?,d?,(x,y,z,w?R?)，则原不等式 yzwx??1yz?2???2???2，由Cauchy不等式有：
xy11x(y?z)(?1)?yzyz1x?1(?)2x??11111?(?)?yzxyz1x?x12?2?1xy12?xy?2?11?2?xyxy?2，故原不等式成立。
12?xy评注：本题通过换元，把原不等式齐次化，再用柯西不等式。
例4 设n是正整数，且ak?0,k?1,2,?,n，
n1?ak?1，求证：?(n?2?k?1nnk?11)?(2n?2)n ak1证：原不等式??(n?2?)n?2n?2，由“二，结论5” 有
akk?1n1nn?2n?21n??(n?2?)??(???)
an?1n?1k?1k?1??k?????akn?1个n11nn?2n?211n2?n()???n()??n?2?，又??ai?nna1a2?an，
naa?anaa?an?1n?1i?112n12n1? ?naa?a12nn?ai?1n?n，故?(n?2?k?1ni1)?(n?2?n)n?(2n?2)n。 ak评注：本例第一步放缩也可用Holder不等式的推广。
例5 设a1,a2,...是一个无穷项的实数列，对于所有正整数i存在一个实数c，使得0?ai?c 且ai?aj?1对所有正整数i,j(i?j)成立，证明：c?1. i?j,)(,..2(.,)(?)证： 对于n?2，设?1?n为1,2,...n的一个排列且满足：0?a?(1)?a?(2)?...?a?(n)?c.
∴c?a?(n)?a?(1)?(a?(n)?a?(n?1))?(a?(n?1)?a?(n?2))?...?(a?(2)?a?(1))
11???...?…① ??(n)??(n?1)?(n?1)??(n?2)?(2)??(1)1(n?1)2ni?1（柯西不等式）
2??(i)??(1)??(n)n?14(n?1)2(n?1)2??1??2.故c?1. ?c?n?3n(n?1)??(1)??(n)n?n?3n?3评注：这里把ai有序化后，①的变形是关键。
4?a－b? 2a 2b 2c 2
例6 设a, b, c为正实数，求证 + + ≥ a + b + c + ，并确定等号成立的条件．
bcaa + b + ca 2b 2c 2a 2b 2c 2
证：由于 b + c + a －a－b－c = ? b + b－2a? + ? c + c－2b? + ? a + a－2c? 111
= b ?a－b? 2 + c ?b－c? 2 + a ?c－a? 2 … ① 而由Cauchy不等式有
111
[ b ?a－b? 2 + c ?b－c? 2 + a ?c－a? 2 ]?b + c + a? ≥ ?|a－b| + |b－c| + |c－a| ? 2 … ②
且由 |a－b| + |b－c| + |c－a| ≥ |a－b| + |?b－c? + ?c－a?| = 2|a－b| 知
高中数学竞赛专题讲座---几个重要不等式及其应用
