? 设y?ax试验证阿基米德关于抛物线弓形面积公式的正确性（用牛-莱公式）。
阿基米德公式 抛物线弓形面积等于内接最大三角形面积的4/3倍。 掌握后完成作业3 网上提交 21-30
2微积分作业3 积分学计算与应用
12131. ?(x2?x)dx Ax3?x32?C Bx3?x32?C
33322.
1111?dx A B ??2x?C?2x?C ?x2xxx13. ?(3x?)dx A. 3xln3?lnx?C B. 3xln3?lnx?C
x5. ?sinx?sec2xdx A. cosx?tanx?C B. ?cosx?tanx?C 6. ?cosx?tan2xdx A. cosx?tanx?x?C B. sinx?tanx?x?C
17. ?2sinxdsinx+?cos2xdx A. sin2x?sin2x?C B. sin2x?sin2x?C
28. ?2xedx A. ex2x2?C B. e
x29.
xxx(x?1)e?C(x?1)e?C A. B. xedx?10.?lnxdx A. xlnx?x?C B. xlnx?x?C 11.?12.?13.?11dx A.lnx?ln(x?1)?C B. ln(x?1)?lnx?C
x(x?1)11dx A. ?ln(x?1)?ln(x?3)??C B. ln(x?3)?ln(x?1)?C
(x?1)(x?3)21x1xdx A. B. arxtan?Carxtan?C 2(9?x)33314.?x2dx A.13 B. 12
015.?sinxdx A.2 B. 1
0?16.?x?1dx A. B. A. 2 B.1
02第 16 页
17.?sin2xdx A.
0?? B.? 2提示 方法1 降幂 cos2x?1?2sin2x （其它恒等式见预备知识）
1??方法2 用积分公式?sin2xdx???
2240?23?2?231?4，?sinxdx?1 sinxdx??42200?2?223118.定积分结果正确的是 A ?sinxdx? B?sin4xdx?
3420019.?sinx1?x2dx A. 0 B. 1
?111x220.?dx A. 0 B. 1/3 x?11?e提示 奇偶分解
21.由直线y?x及抛物线y?x2所围成平面区域的面积是A.1/2 B.1/6 22.由抛物线y?x2与y?x及所围成平面区域的面积 A.1/3 B.1/6
2123.半径为R高为H的圆锥体积 A.?R2H B.?R2H
332424.半径为R的圆球体积是 A.?R3 B.?R3
3325. 由y?sinx,?0,??与X轴围成的图形绕X轴旋转体体积是 A. 26.定积分值??(0H?22 B.
? 2R2x)dx表示 A 圆锥的体积 B圆台的体积 H27. 定积分值??(R2?x2)2dx表示 A.圆球的体积 B.半球的体积
?RRR28. 定积分值
?R1022(R?x)dx表示 A.圆的面积 B.半圆的面积 ?29. 定积分值
?0x(10?xdx表示 A.圆的面积 B.半圆的面积
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30. 定积分值表示 ?2??rdr A.圆的面积 B.半圆的面积
020R31.
?x0bx(20?x)dx A. 250π B. 500π C.1 000? 提示：复述3-2 2式
32.
11133 (x?a)(b?x)dxA.(b?a)B.(b?a)C.(b?a)3 ?6810a?(x?a)，再牛-莱（2）阿基米德抛物线弓形面积公式
提示：（1）牛--莱 （2）作换元ub33.
?x(x?a)(b?x)dx不等于（ ） 提示：复述3-2 2式
a
a?ba?b41b?a214 A.(x?a)(b?x)dx B.??(b?a)() C.(b?a)?2a232212?b34.
?xsinxdx A．? B．?/2 C．2 提示：复述3-2 2式
0提示：6题：tan2x?sec2x?1 （其它三角恒等式公式见预备知识）
16题1）用积分可加性分段积分去掉绝对值 2）几何意义作此题更为简单。
25题：用17题结果；26题 y?bbRx , [0,H] H提示：复述3-2 2式: ?a1f(x)dx??[f(a?b?x)?f(x)]dx 想想如何用？
2a补充知识： 统计学中的随机变量的理论总体均数被称为---数学期望记为E(X)。积分表示为
bb?xf(x)dx其中f(x)?0且满足b?aaf(x)?1称为随机变量的密度函数。
思考题 设f(x)?(x?a)(b?x)，验证：f(a?b?x)?f(x)。满足该性质的函数几何上有什么特点? 34题中，a,b各是多少。 第四个月（复习2周 机动2周） 复习节 微积分三章综合
（本节学习时间建议2周）
学习阶段目标
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掌握基本概念 极限 微分 导数 积分 技能掌握要求 计算公式汇总 技巧总结 复述能力训练
? 微积分应用范围概述 变限函数的微分—微（积分）
? 微分与积分有何联系？谈谈你对微元法的认识 微元法对微元的求和-积（微分） ? 参见思考讨论实践题 学习建议
? 集中记时自测百题作业提高实力切忌记答案不思考 ? 熟悉重要结论以加强对微积分应用主线的全面理解 ? 阅读每章小结争取对微积分学有一个整体上的把握 ? 遇到问题在课程辅导教材例题常见问题中寻求答案 ? 建议优秀学员扩大自己阅读面读读 实用技术攻略 阶段目标
阶段 1 读懂网上作业，经努力，交流，答疑有能力完成并提交大部分作业。 阶段2 网上作业总复习时自测仍能高分通过，并理解原理。考试大纲重读。
阶段3 融会贯通从应用入手理清基本概念与重要结论的内在联系。网上提交深刻问题。
思考讨论实践
? ? ? ? ?
初等函数在其定义域内连续 （课件光盘 基本初等函数连续） 闭区间上的连续函数一定有界 （证明 略 知道结论即可 ） 有界变量乘无穷小是无穷小 （夹挤原则理解） 可导函数就是可微函数，反之亦然。（证明稍复杂 课件有但不要求 ） 函数在其可微点处连续。 （从可微定义理解 课件光盘 ）
? 函数在其连续点处未必可微。即连续未必可微。（ y?|x| 在x=0 处连续但不可微） ? ? ? ?
函数的单调性可以通过导函数的符号加以判定。 （微分中值定理 光盘 ） 闭区间上连续函数的最大值点未必是函数的极值点。 （边界点或极值点 ） 函数可微的极值点一定是驻点。（导数为零的点-驻点）（光盘 ）
微积分的基本定理是牛顿莱布尼兹公式。 （变限求导 ）
2? 球冠的面积公式是s?2?RH ?S(t)?2??R(sint)Rdt?dS(t)?d(?2?Rcost) ? ? ? ?
微元法是微积分应用的核心。 椭圆的面积是?ab
理解闭区间上连续函数的有界性与介值定理（零点定理）的重要意义。 牛顿莱布尼兹公式条件结论及其证明。（光盘）
教学文件说明一览表
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读者对象 主要内容 技术操作 针对目标 《学习指导》 学员 进度阶段目标 课程如何学习 作业 《课程辅导》 学员 教学重点讲解 面授两次并上传 纲要 《考试大纲》 考生 考试题型结构 考试范围要求 考式 《教学大纲》 教师 教学安排要求 针对教师操作 整体 同学你好！祝贺你学习已经进入本课程的尾声，如果你对微积分计算掌握的还好，只是仍不明白微积分的大意，请不要着急。想想变限积分的微分是什么？牛顿莱布尼兹公式是怎么回事？微积分是怎样把积分问题化成求微分的问题的！变限积分的求导问题实际上就是变动面积函数的求导问题。一切都归于连续函数的最值定理与介值定理。当然，积分不仅仅可以解决一般曲边梯形的面积，体积，旋转体体积，弧长，路程，位移，数学期望等等。其实掌握微元法，一切公式只不过是个小小的应用而已。
从球冠的面积公式的推导想想微元法是如何应用到一个你不太熟悉的公式的推导上的。相信你的深入思考会大有收获的。
如果你对实战应用能力的提高很有兴趣，我相信你应该有理由认为自己是一名优秀的学员。再次向你表示祝贺！
实用技术攻略扩展内容供优秀学生阅读
??? 无截距简单线性模型斜率参数的最小二乘估计： ??xiyi/?xi2 （容易推导）
i?1i?1nn统计线性模型参数估计所依据的原则最常用的是最小二乘法，另有极大似然法等。
基于误差为各自独立正态（高斯）分布方差相等假设下，最小二乘估计具有良好性质。
最小二乘法原则： 含参数模型的预测值减去观测值的平方和达到最小 参数的取值不同残差的平方和就不同以无无截距简单线性模型为例
??若要f(?)??(yi??xi)达到最小，由微积分知仅当??xiyi/?xi2 成立
2i?1i?1i?1nnn第 20 页
?为极小值点。f?(?)?0??2(yi??xi)(?xi)?0?结论另外f??(?)?2?xi2?0故?
i?1i?1nn 此公式广泛应用于具有正比例关系的两个变量之间比例系数的估计。需要指出的是使用
计算器容易解决这类计算问题。当然更为简单的是用统计软件如SAS使用REG过程分析非常方便，Regression就是通常人们所说的回归。同学不妨比较计算机和计算器的计算结果，从中体会微积分学在科学计算中默默地发挥着极为重要的作用。 ? 简单线性模型截距参数与斜率参数的最小二乘估计：
??x ??(x?x)(y?y)/(x?x)2 ???y????i?iii?1i?1nn（结论可类比无截距情形推导一般用多元微分学）
? 拉格郎日插值多项式：一次插值多项式（两点决定一条直线）
P1(x)?x?x2x?x1?y1??y2 x1?x2x2?x1二次插值多项式（三点决定一条抛物线）
P2(x)?(x?x2)(x?x3)(x?x1)(x?x3)(x?x1)(x?x2)?y1??y2??y3 (x1?x2)(x1?x3)(x2?x1)(x2?x3)(x3?x1)(x3?x2)? 函数增量近似等于函数微分：
? 数学软件 Methematica 与Matlab等统计软件 SAS及SPSS等。 ? 绘图软件几何画板 超几何画板等。
? 作图1-1 在单位圆中标出 y?sinx，y?cosx,y?tanx 弧度x。 ? 作图1-2 试给出单位圆中内接正N边形的边长及周长的计算公式。 ? 作图1-3 试给出单位圆中内接正N边形的面积的计算公式。 ? 作图2-1 标准三次抛物线曲线并标有极值点拐点特定区间上的最值点。 第 21 页
高等数学基础(原“微积分”)学习指导21页word
