∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴＝
AEAC. DFCD又BE平分∠ABC，且EA⊥AB，EF⊥BC， ∴AE＝EF，∴＝由①②得＝
EFAC.
DFCD②
EFBC，即EF∶DF＝BC∶AC.
DFAC规律方法3 已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．
对点训练 如图6所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F，求证：＝.
DFAEAFEC
图6
【证明】 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD中，＝在△ABC中，＝DFBD，
AFABAEAB，
ECBC① ②
在Rt△ABC中，由射影定理知，
BDABAB2＝BD·BC，即＝.
ABBCDFAE
由①②③得：＝.
AFEC
③
课时检测 相似三角形的判定及有关性质
(建议用时：45分钟)
1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：
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图7
(1)△BPE∽△CPF； (2)△EFP∽△BCP.
【证明】 (1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E. ∴∠BFC＝∠CEB＝90°，
又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE. (2)由(1)得△CPF∽△BPE，∴＝
EPFP. BPCP又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.
2．如图8，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，求证：＝
CBCD. COCA
图8
【证明】 连结AD，由同弧所对圆周角相等可得∠ADC＝∠ABC，
??AB为直径???AB⊥CD
?AD＝AC?∠ADC＝∠ACD，
OB＝OC?∠OCB＝∠OBC?△CAD∽△COB?
CBCD＝. COCA3．如图9，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求
CD的长．
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图9
【解】 ∵BD＋AD＝8＋6＝10＝AB，∴∠ADB＝90°， 又∵∠CAD＝∠B，∠B＋∠BAD＝90°， ∴∠BAD＋∠CAD＝90°，即∠BAC＝90°，
2
2
2
2
2
2
AD2369
由射影定理，得AD＝BD·DC，∴CD＝＝＝.
BD82
2
4．(xx·抚顺模拟)如图10所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连结CD.
求证：(1)∠EDF＝∠CDF； (2)AB＝AF·AD.
2
图10
【证明】 (1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC. 又∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB＝∠EDF. 又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF. (2)由(1)知∠ADB＝∠ABC.
又∵∠BAD＝∠FAB，∴△ADB∽△ABF， ∴＝，∴AB＝AF·AD.
5．如图11所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.
ABADAFAB2
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图11
【证明】 取AC的中点M，连结DM交CF于点N， 则DM为△ABC的中位线，
在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF， 1
∴DN＝BF，
2
∵DN∥AF，∴△AFE∽△DNE， ∴＝. 1AE2DE又DN＝BF，∴＝，
2AFBF即AE·BF＝2DE·AF.
6．如图12，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC交BC于点D，若E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F，求证：＝
AEDEAFDNABDF. ACAF实用文档
图12
【证明】 ∵E是Rt△ADC斜边AC的中点，∴AE＝EC＝DE. ∴∠EDC＝∠ECD，又∠EDC＝∠BDF，∴∠EDC＝∠C＝∠BDF. 又AD⊥BC且∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠C， ∴∠BAD＝∠BDF，∴△DBF∽△ADF. ∴＝.
又Rt△ABD∽Rt△CBA，因此
DBDFADAFABDBABDF＝.∴＝. ACADACAF7．如图13所示，已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求证：AB·BM＝AM·BN.
图13
【证明】 ∵在Rt△ACM中，CM＝MN·AM， 又∵M是BC的中点，即CM＝BM， ∴BM＝MN·AM，∴＝，
又∵∠BMN＝∠AMB，∴△AMB∽△BMN， ∴＝，∴AB·BM＝AM·BN.
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BMMNAMBMABAMBNBM
2024-2024年高考数学大一轮复习(选修4-1)
