第一章 解三角形
1、正弦定理:
在???C中,a、b、c分别为角?、?、C的对边,R为???C的外接圆的半径,则有:
abc???2R. sin?sin?sinC2、正弦定理的变形公式:
①a?2Rsin?,b?2Rsin?,c?2RsinC;
abc,sin??,sinC?; 2R2R2R③a:b:c?sin?:sin?:sinC;
a?b?cabc④. ???sin??sin??sinCsin?sin?sinC②sin??注意:正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。
2、已知两角和一边,求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)如:在三角形ABC中,已知a、b、A(A为锐角)求B。具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把a扰着C点旋转,看所得轨迹以AD有无交点: C 当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
a 当有两个交点则B有两个解。 b 法二:是算出CD=bsinA,看a的情况: bsinA 当a A 当bsinAb时,B有一解 注:当A为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式: 111S???C?bcsin??absinC?acsin?. 2224、余弦定理: 在???C中,有a?b?c?2bccos?, b?a?c?2accos?, 222222c2?a2?b2?2abcosC. 5、余弦定理的推论: b2?c2?a2cos??, 2bca2?c2?b2cos??, 2aca2?b2?c2cosC?. 2ab(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角) 1 6、如何判断三角形的形状: 设a、b、c是???C的角?、?、C的对边,则: ①若a?b?c,则C?90; ②若a?b?c,则C?90; ③若a?b?c,则C?90. 7、正余弦定理的综合应用: 如图所示:隔河看两目标A、B, 但不能到达,在岸边选取相距3千米的C、D两点, 并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30, OC ∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离。 附:三角形的五个“心”; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 练习题 一、选择题 1、在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c等于 ( B ) A.10?3 B.10O O O 222o222o222oB A D ?3?1 ?C.3?1 D.103 2、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x2?7x?6?0的根,则三角形的另一边长为 A.52 B.213 C.16 D.4 3、在△ABC中,若(a?c)(a?c)?b(b?c),则?A?( C ) A 90 B 60 C 120 D 150 00004 、在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 ( D ) A.b = 10,A = 45°,B = 70° B.a = 60,c = 48,B = 100° C.a = 7,b = 5,A = 80° D.a = 14,b = 16,A = 45° 5、已知△ABC中,a∶b∶c=1∶3∶2,则A∶B∶C等于( A ) A.1∶2∶3 C. 1:3:2 B.2∶3∶1 D.3:1:2 6、若△ABC的周长等于20,面积是103,A=60°,则BC边的长是( C ) A. 5 B.6 二、填空题(每题5分,共25分) C.7 D.8 2 7、在?ABC中,已知sinA:sinB:sinC?6:5:4,则cosA?___________ a?b?c8、在△ABC中,A=60°, b=1, 面积为3,则= sinA?sinB?sinC9、在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线AD?7,那么BC= 27,且C210、在△ABC中,已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c,边c?33,则a?b?________________ 2三.解答题(2小题,共40分) ?60?,又△ABC的 面积为13、在?ABC中,sin(C?A)?1, sinB= 1.(I)求sinA的值; (II)设AC=6,求?ABC的面积. 3 知识点巩固练习(一) 一、选择题 1.在△ABC中,若C?90,a?6,B?30,则c?b等于( ) A.1 B.?1 C.23 D.?23 2.若A为△ABC的内角,则下列函数中一定取正值的是( ) A.sinA B.cosA C.tanA D. 001 tanA3.在△ABC中,角A,B均为锐角,且cosA?sinB, 则△ABC的形状是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 04.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为60, 则底边长为( )A.2 B. 3 C.3 D.23 25.在△ABC中,若b?2asinB,则A等于( ) A.30或60 B.45或60 C.120或60 D.30或150 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) 3 00000000 A.90 B.120 C.135 D.150 二、填空题 1.在Rt△ABC中,C?90,则sinAsinB的最大值是_______________。 2.在△ABC中,若a?b?bc?c,则A?_________。 3.在△ABC中,若b?2,B?30,C?135,则a?_________。 4.在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC?7∶8∶13,则C?_____________。 三、解答题 1. 在△ABC中,若acosA?bcosB?ccosC,则△ABC的形状是什么? 2.在△ABC中,求证: 0022200000abcosBcosA??c(?) baba 3.在锐角△ABC中,求证:sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC。 4 知识点巩固练习(二) 一、选择题 1.在△ABC中,A:B:C?1:2:3,则a:b:c等于( ) A.1:2:3 B.3:2:1 C.1:3:2 D.2:3:1 2.在△ABC中,若角B为钝角,则sinB?sinA的值( ) A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定 3.在△ABC中,若A?2B,则a等于( ) A.2bsinA B.2bcosA C.2bsinB D.2bcosB 4.在△ABC中,若lgsinA?lgcosB?lgsinC?lg2,则△ABC的形状是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 5.在△ABC中,若(a?b?c)(b?c?a)?3bc,则A? ( ) A.90 B.60 C.135 D.150 6.在△ABC中,若a?7,b?8,cosC?000013,则最大角的余弦是( ) 141111A.? B.? C.? D.? 5678a?b?c=_______。 sinA?sinB?sinC二、填空题 1.若在△ABC中,?A?600,b?1,S?ABC?3,则 2.若A,B是锐角三角形的两内角,则tanAtanB_____1(填>或<)。 3.在△ABC中,若sinA?2cosBcosC,则tanB?tanC?_________。 4.在△ABC中,若a?9,b?10,c?12,则△ABC的形状是_________。 5.在△ABC中,若a?三、解答题 3,b?2,c?6?2,则A?_________。 21. 在△ABC中,A?1200,c?b,a?21,SVABC?3,求b,c。 5