2024年浙江省高中竞赛试题和解答

由天下分享时间：2024/12/23 18:18:08 加入收藏我要投稿点赞

2024年浙江省高中竞赛试题和解答

一、选择题〔本大题总分值36分，每题6分〕

1．集合A?yy?x?1,x?R,B?xx?x?2?0，那么以下正确的选项是〔〕 A．A?2??2?B??yy?1?, B．AB??yy?2?

C．A?B?y?2?y?1 D． A?B?yy?2或y??1 解：因为A?yy?1,B?xx?1,或 x??2，因此有A2．当0?x?1时，f(x)?????????B??yy?1?,正确答案为 A．

x，那么以下大小关系正确的选项是〔〕 lgx2222 A．f(x)?f(x)?f(x) B． f(x)?f(x)?f(x)

2222C． f(x)?f(x)?f(x) D． f(x)?f(x)?f(x)

?x?x2x22?0?0，f(x)? 解：当0?x?1时，f(x)?，f(x)????0． lgx2lgxlgx??xx22x?x2(2?x)x????0．因此 f(x)?f(x2)?f2(x)．选 C．又因为2lgxlgx2lgx2lgx3．设f(x)在[0,1]上有定义，要使函数f(x?a)?f(x?a)有定义，那么a的取值范畴为〔〕

A．(??,?)； B． [?,]； C． (,??)； D． (??,?]?[,??)

解：函数f(x?a)?f(x?a)的定义域为 [a,1?a]?[?a,1?a]．当a?0时，应有a?1?a，即

2121122121212a?11；当a?0时，应有?a?1?a，即a??．因此，选 B． 224．P为三角形ABC内部任一点〔不包括边界〕，且满足(PB?PA)(PB?PA?2PC)?0，那么△ABC一定为( )

A．直角三角形；B．等边三角形；C．等腰直角三角形；D．等腰三角形

解：因为PB?PA?AB,PB?PA?2PC?CB?CA，因此条件可改写为AB?(CB?CA)?0．容易得到此三角形为等腰三角形．因此选 D．

5．f?x??x2?a2?b2?1x?a2?2ab?b2是偶函数，那么函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是〔〕

A．2 B． 2 C． 22 D． 4

??解：由条件可知，a?b?1?0，函数图象与y轴交点的纵坐标为a?2ab?b．令

2222a?cos?,b?sin?，那么

a2?2ab?b2?cos2??2sin?cos??sin2??cos2??sin2??2．因此选 A．

6．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内〔包括圆周〕．假设AM⊥MP，那么P点形成的轨迹的长度为〔〕 A．

7 B．

73 C． 3 D． 223)，P(x,y,0)．因此有2解：建立空间直角坐标系．设A(0,-1,0), B(0,1,0),S(0,0,3), M(0,0,AM?(0,1,33),MP?(x,y,?).由于AM⊥MP，因此 22(0,1,333)?(x,y,?)?0，即y?，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为224

3721?()2?．因此选 B．

42二、填空题〔此题总分值54分，每题9分〕 7．cos(1?x?5x?7?22x2?5x?6)＝．

22解：依照题意要求，x?5x?6?0，0?x?5x?7?1．因此有x?5x?7?1．因此

cos(1?x2?5x?7?x2?5x?6)?cos0?1．因此答案为 1．

8．设a,b,c,d为非负实数，满足

abcd，那么 ???b?c?da?c?da?b?da?b?ca?bb?cc?dd?a＝． ???c?da?da?bb?cabcd解：明显a?b?c?d?0，由于，有 ???b?c?da?c?da?b?da?b?c1111．因此有a?b?c?d，故 ???b?c?da?c?da?b?da?b?ca?bb?cc?dd?a????4． c?da?da?bb?c9．设f(x)?1111??f(x)?f()?_________．，那么lgxlgxlgx1?21?41?8x1x111111??????3．

1?2lgx1?4lgx1?8lgx1?2?lgx1?4?lgx1?8?lgx解： f(x)?f()?10．设实系数一元二次方程x2?ax?2b?2?0有两个相异实根，其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，那么

b?4的取值范畴是． a?1解：依照题意，设两个相异的实根为x1,x2，且0?x1?1?x2?2，那么

1?x1?x2??a?3，0?x1x2?2b?2?2．

因此有 ?3?a??1,1?b?2，也即有

111????, ?3?b?4??2． 2a?14故有

1b?43?13???，即取值范畴为?,?． 2a?12?22?xyxy??1与??1

sin??sin?sin??cos?cos??sin?cos??cos?11．?,??R，直线

的交点在直线y??x上，那么sin??cos??sin??cos?? ．解：由可知，可设两直线的交点为(x0,?x0)，且sin?,cos?为方程

x0?x0??1，

t?sin?t?cos?的两个根，即为方程

t2?(cos??sin?)t?sin?cos??x0(cos??sin?)?0

的两个根．因此

sin??cos???(sin??cos?)，

即sin??cos??sin??cos??0．

12．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分不取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上．AD的长度的最小值为．

解：设AD?x,?ADE??，作△ADE关于DE的对称图形，A的对称点G落在BC上．在△DGB

中，

xsin?3?1?xsin(2??)3??x?33?2sin(2??)3?

当sin(2??

?3)?1时，即xmin?32?3?23?3．

三、解答题〔此题总分值60分，每题20分．解承诺写出文字讲明，证明过程或演算步骤．〕

x2y242513．椭圆C：2?2?1〔a?b?0〕，其离心率为，两准线之间的距离为。〔1〕求a,b之

ab52值；〔2〕设点A坐标为(6, 0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP〔字母

A，B，P按顺时针方向排列〕，求P点的轨迹方程。

c4a225?解：〔1〕设c为椭圆的焦半径，那么?,． ……………………〔5分〕

a5c4因此有a＝5，b＝3．

〔2〕解法一：设B点坐标为(s,t)，P点坐标为(x,y)．因此有

AB?（s?6，t）, AP?(x?6，y)。

因为AB?AP，因此有（s?6，t）(x?6，y)?(s?6)(x?6)?ty?0． (A1 ) 又因为ABP为等腰直角三角形，因此有 AB=AP，即

22（s?6）?t2?（x?6）?y2． (A2 ) …………〔10分〕

tyt2y2222?(s?6)?t?（x?6）由〔A1〕推出s?6??，代入〔A2〕，得 ……〔15分〕 2x?6(x?6)（s?6），即s?6?y〔不合题意，舍去〕或s?6?y．从而有 y?22（x?6）（y?6）??1。代入椭圆方程，即得动点P的轨迹方程 …………〔20分〕 92522解法二：设B(x1,y1),P(x,y),AB?r，那么以A为圆心，r为半径的圆的参数方程为

?x?6?rcos?． ?y?rsin??设AB与x轴正方向夹角为?，B点的参数表示为??x1?6?rcos?， …………〔10分〕

?y1?rsin?0??x?6?rcos(90??)?x?6?rsin?,即?P点的参数表示为?． 0y??rcos????y?rsin(90??)从上面两式，得到??x1?6?y． ……………………〔15分〕

?y1?x?6(x?6)2(y?6)2??1． ……………………〔20分〕又由于B点在椭圆上，可得

925此即为P点的轨迹方程．

14．求解不等式x?a?x?1?1。

解：〔I〕x?1情形．现在不等式为x2?a?x?2．因此有

2?x2?a?02?x?a． x?2?0? 〔1〕?x?22?x?a?x?2??因此当a?0时，有1?x?2；当0?a?1时，有1?x?2；

当1?a?4时，有a?x?2；当a?4时，空集． …………………… 〔5分〕

?? 〔2〕 ???2?x?a2x?a?0??x?2x?2?0??．

ax2?a?x?2?x??1??4现在有当a?0时，有x?2；当0?a?1时，有x?2；当1?a?4时，有x?2；当a?4时，

x?a?1． …………………………………………〔10分〕 4〔II〕x?1情形．现在不等式为x2?a??x．因此有

?x2?a?02?x?a． ?x?0? 〔3〕?x?02??x?a??x?因此当a?0时，有0?x?1；当0?a?1时，有a?x?1；当a?1时，空集．……〔15分〕